第208章 緊性問題，斬於馬下！
第208章 緊性問題，斬於馬下！
然而，仿佛外界那滔天的巨浪根本不存在一般，本來應該置身於風暴眼中心的林葉，此刻卻悄然地抽身事外，好像已經完全將那兩篇引爆學術界的論文拋在了腦後。
對他而言，那已經是過去式的成果。
一旦上傳到了arXiv，它們就不再屬於他個人的私藏，而是屬於整個數學界了。
現在的他，更傾向於好好放鬆自己，又或者是將注意力放在其他的問題上。
而剛好最近這段時間，關注他那兩篇論文的人，此刻也大概率正在用心鑽研著那兩篇論文，哪怕是他們學校的教授們也都沒有時間過來找他，這倒是也讓他有了更多一個人呆著的時間。
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上京大學，數院大樓，陳景明那間安靜的辦公室里。
「不對，這裡還是不對。」
電腦揚聲器里傳來了徐子軒有些焦躁的聲音，伴隨著粉筆用力敲擊黑板的篤篤聲。
「林葉，你看。」屏幕那頭，身在震旦大學辦公室的徐子軒，將攝像頭對準了自己身邊的小黑板，上面密密麻麻寫滿了算式，「雖然按照你郵件里的建議，引入幾何加權BMO
空間後，高頻共振確實被壓制了。但是，當我們把這個估計代回到納維—斯托克斯方程的壓力項時，邊界附近的餘項R（bd）卻發散了。」
徐子軒指著那個頑固的積分項，眉頭緊鎖：「這個壓力梯度的非定域性實在太難纏了。當我在頻率空間做截斷的時候，它在物理空間的支持集就會擴散。這簡直就像是————
就像是按下了葫蘆起了瓢，根本沒法同時控制住兩頭。」
林葉坐在辦公桌前，手裡轉著筆，盯著屏幕上的推導，同樣眉頭微蹙。
這是他們合作攻克緊性缺失問題的最後一道坎。
只要跨過去，關於NS方程臨界空間逼近理論的最後一塊拼圖就補全了，徐子軒這兩年的心血將畫上完美的句號，而林葉也能從中驗證自己理論的普適性。
但顯然，這個問題也沒有那麼容易就能夠跨過去，畢竟終究也是難住了整個PDE界多年的問題了。
「如果我們用硬截斷呢？」林葉試探性地問道，「比如引入一個尖銳的截止函數？」
「試過了，不行。」徐子軒搖了搖頭，嘆氣道，「硬截斷會破壞交換子的連續性，導致更嚴重的吉布斯現象。現在的感覺就是，這股能量就像是有意識一樣，不管我怎麼圍追堵截，它總能找到縫隙鑽出去。」
徐子軒有些泄氣地把粉筆扔回槽里，隨口抱怨了一句：「這玩意兒太滑了，完全不像是一個矢量場，倒像是一個守恆的標量場在流動————除非我們能找到一種方法，讓它的旋度和散度在某種弱意義下相互抵消。」
說者無心，聽者有意。
當「旋度」、「散度」和「抵消」這幾個詞鑽進林葉耳朵里時，他轉筆的手指猛地停住了。
林葉的眼神瞬間凝固，腦海中【數學通感】的能力再一次被觸動。
他的思緒飛速閃回，從面前的草稿紙，瞬間跳躍到了經典的補償緊緻性理論，那是著名數學家Lions和Murat的傑作。
「徐教授剛才說，它像一個守恆的標量場————
「而在我剛剛上傳到arXiv的那篇論文【幾何剛性交換子定理】中，我已經證明了渦度方向在微局部下是剛性對齊的。這意味著，在那個特定的幾何坐標系下，非線性項的結構其實是被鎖定的！」
林葉的瞳孔驟然收縮，一道靈光如同閃電般劈開了迷霧。
「我們不需要硬抗壓力項的非定域擴散，也不需要去強行截斷邊界！」
「我們只需要構造一個特殊的Div—CurI結構！」
「只要把非線性項拆解成一個無散向量場和一個無旋向量場的內積，那麼根據Div—
Curl引理，它們的弱極限就會具有比各項單獨極限更好的連續性！」
「就是這個！」
林葉猛地坐直了身子，一把抓過面前的草稿紙。
「刷刷刷」」
筆尖在紙上瘋狂飛舞。
他不再去計算那個發散的邊界餘項，而是直接回到了方程的源頭，開始利用自己提出的幾何剛性概念，對非線性項進行代數重構。
【（u·∇）u=1/2|u|^2—u×ω】
「利用幾何對齊————ω的方向被鎖定在特徵流形上————」
「構建輔助向量場E和B————
「————所以，[E，B]在分布意義下是弱連續的！」
短短兩分鐘，林葉就在草稿紙上完成了一次漂亮的邏輯閉環。
那個讓徐子軒頭疼不已的發散主項，在這個新的代數結構下，竟然奇蹟般地直接消失了！
「徐教授！看黑板！」
林葉興奮地喊了一聲，甚至來不及整理草稿，直接跳起來，把筆記本電腦的攝像頭轉
向了自己身旁的小黑板。
「嗯？」屏幕那頭的徐子軒正喝水潤嗓子，聞言立刻放下杯子，湊到了屏幕前。
只見林葉拿起粉筆，動作飛快地在黑板上寫下了一個恆等式變換。
「我們之前的思路鑽牛角尖了！邊界餘項之所以發散，是因為我們在積分前沒有把內部的結構性相消給提煉出來！」
林葉一邊寫一邊快速解釋道：「你看，如果我們利用Diy—Cur引理的思想————由於幾何剛性的存在，渦度ω在切向上的分量是好的，而速度u在法向上的分量也是好的。」
「這兩個「好」的分量湊在一起，正好構成了一個Div—CurI對！」
「根據補償緊緻性原理，它們的乘積在弱極限下不會產生缺陷測度！也就是說林葉重重地在黑板上畫了一個圈，眼中閃爍著自信的光芒：「那個讓我們頭疼的幽靈能量，在這一項里，根本就不存在！它是被幾何結構自動抵消掉的！」
屏幕那頭，徐子軒死死地盯著林葉寫下的推導過程。
起初，他的表情是困惑，緊接著，隨著林葉寫下Div—CurI引理的應用條件，他的眼睛越睜越大，嘴巴也慢慢張成了「0」型。
他在腦海中飛快地驗算著這一步的合理性。
沒有引入新的假設，也沒有複雜的邊界估計。
僅僅是一次視角的轉換，一次巧妙的代數重構————
那個困擾了他這麼久、甚至讓他覺得無解的核心發散項，就這麼————被抵消了？
「這————這————」
徐子軒激動得語無倫次，他猛地低下頭，抓起自己的筆，在自己的草稿紙上瘋狂地驗證起來。
「對————散度為零————旋度有界————弱收斂保持——
「我的天————真的是這樣！」
一分鐘後，徐子軒猛地抬起頭，隔著屏幕看著林葉，臉上滿是震撼與狂喜：「林葉！
你是個天才！絕對的天才！Div—CurI引理！我怎麼就忘了這個老古董？！結合幾何剛性，這簡直就是絕殺！」
「最難啃的骨頭總算是拿下了！」
徐子軒興奮得直接從座位上蹦了起來，在辦公室中轉悠了兩圈，然後才猛地撲回屏幕前，雖然神情依舊激動，但理智也開始回歸。
「雖然剩下的邊界層校正項還有一點小尾巴，那個還需要做一些常規的估計，但這已經不是本質困難了！只要主項被你的方法抵消掉，剩下的那些也就是花點時間做苦力活而已！」
隨著激動結束，當徐子軒的目光重新落回在屏幕上那個精妙絕倫的推導過程時，他的眼神又逐漸變得深邃起來。
他盯著黑板上那個關於幾何約束的關鍵項，腦海中突然閃過一道白光。
「等等————」徐子軒猛地抬起頭，隔著屏幕看向林葉，語氣中帶著一絲求證，「林葉，你剛才用到的這個幾何剛性約束的處理手法————這不就是你的【幾何剛性交換子定理】嗎？」
林葉聞言，微微一愣，隨即坦然地點了點頭，笑著說道：「確實是。沒想到徐教授這麼忙，居然也已經看過我的論文了？」
「怎麼可能沒看過？」徐子軒苦笑一聲，語氣中帶著幾分感嘆，「現在整個數學界，無論是做分析的還是做方程的，誰不在討論你那兩篇論文？這可是這段時間以來，整個arXiv上最火爆的話題，甚至有人說這是這一代分析學最鋒利的矛。」
「雖然我這段時間一直把自己關在辦公室里死磕這個緊性問題，但吃飯睡覺的時候，也還是忍不住去下載下來拜讀了一部分。特別是第一篇關於工具構造的，雖然還沒完全吃透，但那個核心思想————真的是太驚艷了。」
說到這裡，徐子軒看著屏幕對面那個一臉平靜的少年，心情變得愈發複雜。
他回想起一個月前在金陵的那場報告會，回想起林葉當時在台上那從容不迫的樣子，以及後來把解決緊性問題的思路大方分享出來的舉動。
「林葉————」徐子軒深吸了一口氣，神色複雜地問道，「你老實告訴我，當初在金陵的時候，你是不是————其實腦子裡就已經構建出這個幾何剛性交換子定理的雛形了？」
林葉沒有否認，輕輕點了點頭：「那時候確實已經有了初步的想法，也是在和你的討論中，讓我找到了完善它的最後一塊拼圖。」
「難怪————」徐子軒長嘆一聲，整個人像是泄了氣的皮球，靠在了椅背上，「難怪當時面對解決緊性問題這個誘惑，你表現得那麼雲淡風輕，甚至把思路全盤托出也不在意，原來你已經有了一個更重要的東西將要完成了，自然也就看不上什麼緊性問題了。」
聽到徐子軒這番略帶自嘲的比喻，林葉卻收斂了笑容，認真地糾正道：「徐教授，你誤會了，我並不是看不上緊性問題。恰恰相反，緊性問題是驗證理論的重要一環。只不過從數學的底層邏輯上來說，【幾何剛性交換子定理】作為一種通用的分析工具，其普適性和基礎性確實要比解決某一個具體的方程收斂性問題更重要一些。一個是「道」，一個是「術」，兩者並沒有高下之分，只是層級不同。」
聽著林葉的糾正，徐子軒不由笑著調侃一句，「也就是說，幾何剛性交換子定理對你來說更加的海闊天空嘛！」
林葉哭笑不得。
但不可否認，確實可以這麼說。
隨後，就是短時間的沉默。
不過很快，徐子軒突然坐直了身體，神色變得前所未有的鄭重。
「林葉，說實話，你是我有生以來見過的，最聰明、也是最純粹的人。
徐子軒的聲音滿是感慨：「當年我在國內讀書的時候，周圍人都叫我天才。後來我有幸去了巴黎高師讀博，在那裡，我見到了太多來自世界各地的數學怪物，那時候我以為我已經見識到了人類智商的天花板。但是直到現在————」
他看著屏幕里的少年，苦笑道：「你又一次打破了我對天才這兩個字的認知。」
林葉被誇得有些不好意思，剛想謙虛兩句，徐子軒卻已經擺擺手，截斷了他的話頭。
「好了，矯情的話我就不多說了，大恩不言謝。」徐子軒重新拿起了筆，眼神中重新燃起了鬥志，「既然最難的一步已經跨過去了，剩下的那些邊界層校正的苦力活，就交給我吧。」
「我相信徐教授。」林葉笑著送上祝福，「而且，這個成果如果能順利做出來，對我來說也是一個極其重要的消息。因為這將是【幾何剛性交換子定理】在實際問題中應用的又一個完美範例，有了它，我的理論就等於有了兩個實證案例了。」
「放心，我會讓它成為你證明的條件全局正則性之外的又一個完美範例！」徐子軒鄭重承諾。
他們都有這個自信。
緊性問題，如今已經可以稱得上被斬於馬下了！
兩人又簡單交流了幾句後續的安排，便結束了這次長達數小時的視頻通話。
看著電腦屏幕重新變回桌面，林葉伸了個大大的懶腰，渾身骨節發出一陣脆響。
他轉頭看了一眼窗外。
此時已是下午兩點，陽光正好。
「糟糕！薩納克教授的課就快要開始了！」
剛才聊得太投入，完全忘了這茬。
這位剛剛在數學界攪動風雲、讓頂尖數學家們都心服口服的林神，此刻卻像個普通的遲到大學生一樣，手忙腳亂地抓起書包，把桌上的草稿紙一股腦塞進去，然後火急火燎地衝出了辦公室。
哪怕證明了NS方程的正則性，他也還是個學生啊！
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