第286章 李判據（二合一）
拉斯·維根納愣了一下。
李東？
哪個李東？
他一下沒反應過來，下意識地問了一句。
「哪個李東？」
電話那頭漢斯沉默了一下。
然後他說了三個字。
「燕大的。」
本章節來源於ＳＴＯ５５．ＣＯＭ
拉斯·維根納猛地停住了。
那個一年裡頭先後掛《annals》、又掛出「李氏猜想」的少年。
那個讓陶哲軒在自己博客里連寫兩次「燈塔」的少年。
拉斯·維根納的眉頭皺了起來 他怎麼會tikhonov？
他懂應用數學嗎？
拉斯下意識地張了張嘴想說點什麼。
可話到嘴邊，他自己又咽了回去。
業內有一句話：
李東就算掛一篇關於煎雞蛋的comment，你都得把它從頭看到尾。
他沉默了幾秒，最後他沖電話那頭說了一句。
「漢斯。」
「我馬上回家。」
他沒等漢斯回話，直接掛斷了電話。
牽引繩一收。
他轉身就往家走。 腳邊那隻金毛一臉懵逼地擡起頭。
主人？
我們才出來十分鐘啊？
我那一棵每天都要光顧兩次的小樹都還沒澆呢。
到家以後，拉斯連鞋都沒換，直接進了書房。
打開筆記本
在arxiv的搜索欄裡頭敲下兩個詞
「tikhonov」，」countereample」。
最上面那一篇。
標題：
《關於帶循環權重的tikhonov疊代在邊界條件下的一個反例》
作者：李東 拉斯·維根納先把這一篇的「前置依賴」翻了一下。
短，只引了三篇文章。
一篇是恩格爾1996年那本反問題教科書的第二章。
一篇是tikhonov1963年那一篇奠基性的原文。
最後一篇……
《非標準本徵值問題的譜方法》。
第六章，倒數第三頁。
拉斯·維根納愣了一下。
第六章倒數第三頁？
他腦子裡的一段記憶一下被勾了起來。
那是一個小技巧。
具體到內容是，一段不到半頁紙的處理方法，講的是帶循環權重的疊代裡頭，怎麼把權重的某一階導數在邊界條件附近做一檔「軟化」的處理。 這一段，他們這一行的人是知道的。
可這一段很邪門。
它是大家「用了幾十年都沒搞懂」的東西。
這一段小技巧，從《非標準本徵值問題的譜方法》初版開始流傳到現在，三十多年了。
業內做循環正則化，離不開它。
可這一段東西有一個讓所有人頭疼的毛病
它有時候管用，有時候不管用。
用得上的時候，一篇論文從頭到尾都順。
用不上的時候，整一篇推導從中間開始就開始飄，但是飄得非常隱蔽，每一步看上去都對，最後跑出來的數值仿真就是莫名其妙地差那麼一截。
有人靠這一段小技巧頂著發了頂刊。
也有人靠這一段小技巧把自己手上半篇推得很漂亮的稿子推廢了。
到底什麼時候管用、什麼時候不管用？ 業內做了三十年。
總結過幾條經驗。
你的循環權重得「溫和」。
你的邊界條件得「光滑」。
你的疊代步長得「小心」。
每一條都對，每一條都不頂用。
業內私底下管這一段叫：
「循環tikhonov的鬼打牆」。
跨過去就是頂刊。
跨不過去就是廢稿。
至於「那一道牆在哪兒、為什麼會撞上」
三十年來，沒有任何一個人正經地把這東西從原理上剖開過。 哥本哈根、蘇黎世、普林斯頓都有人嘗試過。
最接近「統一刻畫」的，是1998年霍夫曼和陶滕漢的一篇論文，他們給出了一組充分條件，證明在那一組條件下小技巧是穩的。
可那一組條件太苛刻了。
苛刻到幾乎沒有真實的工程問題能滿足。
業內的人後來嘲笑那一篇論文。
「這相當於告訴你，只要太陽從西邊出來，那這個小技巧就一定管用。」
恩格爾哈特的那一篇論文裡就用了這一段小技巧。
不光恩格爾哈特用了。
整個tikhonov這一行公開發表的論文裡，從1993年到現在，但凡涉及到帶循環權重的方案的，十有八九都在某個角落裡頭掛上了這一段小技巧。
每一個用上的人，心裡頭其實都打鼓。
他們只能祈禱。
三十年了。 整一行人，靠「祈禱」壓著這一段過日子。
恩格爾哈特祈禱成功了。
至少，他自己以為成功了。
拉斯·維根納翻到comment的第二節。
第二節的標題是一一《偽收斂錨的判據》
拉斯·維根納的呼吸一下就停住了。
「他要解剖這個技巧？」
果然，這一節裡面李東告訴了大家怎麼判斷……
什麼樣的循環權重，配合什麼樣的邊界條件，會讓這一檔疊代陷入一種「偽收斂」的穩定態……每一步殘差都在下降，每一步相位約束都滿足，每一步看上去都在朝著真解逼近……
可它根本不是在朝真解走，它會陷在一個固定的局部停滯點上面。
李東給這個停滯點起了一個名字一一【偽收斂錨】。
判據本身只有三行式子： 第一行：循環權重的某一階導數在邊界附近的局部行為，寫成一個具體的形式。
第二行：把這個形式代入疊代算子，提取出主導項里的一個係數。
第三行：當這一個係數落在某一個具體的開區間裡時【疊代被錨定】!！
落在區間外【疊代正常收斂】。
三行式子，把「鬼打牆」這一段從1993年壓到現在的三十年懸案，乾乾淨淨地講明白了。拉斯·維根納從椅子上半站了起來。
這……這他娘的就是答案？
就這麼簡單？
他重新擡起頭，看看向屏幕。
李東在comment的最後只留了一段小注。
「這個判據，給出的是「什麼時候偽收斂錨會出現』的充分必要條件。」
「在判據成立的情形下，疊代的視覺表現和真正的收斂幾乎不可區分，除非有人事先知道真解。」「作者建議這一行的同行，今後凡涉及帶循環權重的疊代方案，請在論文中顯式地驗證本判據，以避免不必要的爭議。」
這只是一段建議。 它並沒有點任何人的名
可這一段建議就掛在恩格爾哈特那一篇論文下面。
所以……恩格爾哈特那一篇論文，要按李東的判據驗一下嗎？
毫無疑問，肯定是要驗的。
結果嘛……自然是這篇論文不成立！
拉斯·維根納放下手裡的筆，心裡頭默默地罵了一句。
「操。」
李東這一篇comment掛在arxiv上頭不到二十四個鐘頭。
整個圈子炸了。
掛到第二天早上九點。
第一個公開轉發的人，是杜倫大學的傑克·薩頓。
這位是反問題這一行下一代里最拔尖的幾個人之一。 薩頓在自己x帳號上貼了一篇pdf的連結。
只配了一句話。
「我推到第十二步，每一步都對，鬼打牆被剖開了。」
掛出來不到一個鐘頭，轉發數就破了一千。
緊接著是阿姆斯特丹的布拉姆·德弗里斯。
他貼出來一張手寫稿的照片。
是他自己昨晚通宵推下來的、關於李東判據的另一種等價形式。
他配的那一句話比薩頓還狠。
「如果李是對的，過去三十年裡有相當一批文章需要重新走一遍這個判據。」
緊接著是普林斯頓、是eth、是斯坦福、是icp……
每個人都貼出來一份自己手算的稿子。
掛到第二天下午。 轉發數破了兩萬。
數學這一行里，能在二十四小時之內把轉發數堆到兩萬的comment，這是頭一次。
可圈子裡頭炸歸炸，爭議也來了。
有幾位老資格，吃tikhonov這一行的飯吃了三十年的人，開始公開質疑這一篇comment。第一位站出來的，是哥本哈根的埃里克·林德格倫。
他在linkedln上面掛了一篇長文。
意思很清楚。
第一，李的判據，給出的是一個「開區間」。
開區間這種東西，在工程實踐中是非常脆弱的。
稍微改一下邊界條件的離散化方式，係數就跳出去了。
所以，這個判據「在數學上」也許是對的，但是「在工程上」不一定真有指導意義。
第二，「偽收斂錨」如果真存在，那它是一個上世紀八十年代就該被發現的東西。
一個二十歲做純數學的孩子，今天才把它剖開。 林德格倫從經驗上不太相信。
第三，林德格倫建議大家先冷靜一下，等恩格爾哈特那一組人自己回應一下，再來下結論。林德格倫這一篇掛出來以後，圈內立刻分成了兩派。
支持林德格倫的，是一批四五十歲、在tikhonov這一行紮根多年的人。
他們的邏輯很樸素：
「我做了二十年沒搞懂的東西，你二十歲就剖開了？」
「我做了二十年都沒找出來的判據，你拍著腦袋就給我寫出來了？」
「憑什麼？」
「我不信。」
支持李東的，多是一批三十歲出頭的年輕人，外加幾位真正啃過《非標準本徵值問題的譜方法》第六章每一行的老前輩。
這一波討論從arxiv吵到了x，吵到了math0verflow，吵到了幾個反問題領域的專業郵件列表。吵了三天。
誰都沒有把誰說服。
第四天。 普林斯頓高等研究院。
彼得·薩納克的辦公室。
裡頭年近七十的老先生，正端著咖啡，在ipad上慢慢地看著李東那一篇comment。翻到最後一頁，他笑了一下。
「這小子，明明都不在應用數學這一行裡面，就搞出了這麼的大的動靜」
「這下循環tikhonov這事……恐怕以後不叫鬼打牆了，應該叫李判據咯。」
李東這一篇comment還在往外炸。
第五天上午。
倫敦，iop出版集團總部。
《inverseproblems》編輯部，副主編辦公室。
副主編瑪麗亞·托雷斯的臉色不太好看。
她面前的桌上放著著兩份東西。
一份是恩格爾哈特那一篇的清樣。 一份是李東那一篇comment的列印稿。
旁邊坐著的，是這本期刊的幾位編委。
刊物自己請的兩位獨立外審專家也來了。
他們已經在這間屋子裡頭坐了兩個鐘頭。
李東那一個判據，他們一行一行驗過了。
每一行都對。
「我建議……」
「啟動一次內部自檢。」
「過去十年，我們刊上發的、用了那一段小技巧的論文。」
「全部用李判據捋一遍。」
「先不動稿子，也不掛任何公開聲明。」
「我們自己心裡得有底。」 幾位編委對視了一眼。
最後那位最年長的編委，開了口。
「行。」
「自檢吧。」
會議室里再沒人說話。
外面下起了一場不大的雨。
托雷斯端起茶杯喝了一口。
茶有點涼了。
同樣的事情在《numerische mathematik》、在《siam journal on numerical analysis》、在《mathematics of computation》幾乎是同時發生著。
慕尼黑工大。
應用數學系，三樓最裡頭那一間不掛牌子的小會議室。
屋裡坐著三個人 阿爾布雷希特，馬普下面那個大課題組的負責人。
恩格爾哈特，《面向不適定譜反問題的混合tikhonov-變分正則化方案一一帶循環權重的殘餘相位耦合》的第一作者。
阿爾布雷希特組裡負責數學反演那一塊的總協調人，霍夫曼。
阿爾布雷希特坐在主位。
他平時是個非常優雅的德國老學者。
可這一刻，他擡起頭，冷冷的看著對面的恩格爾哈特。
「穆勒。」
恩格爾哈特的名字叫穆勒·恩格爾哈特。
「我就問你一句。」
「你那一族循環權重代進李判據裡頭去係數落在哪兒？」
恩格爾哈特嘴唇動了一下。
他低著頭。 過了好幾秒，他才擡起來。
「阿爾布雷希特教授。」
「我沒代進去。」
阿爾布雷希特：……
恩格爾哈特趕緊補了一句。
「我不是不願意代。」
「是李判據本身……還有爭議。」
「哥本哈根的林德格倫已經公開質疑過了。」
「我論文那一族循環權重，是按我自己的算法推出來的。」
「我自己的推導是穩的。」
「我那六個數值仿真也都跑通了。」
「在林德格倫質疑被解決之前，我沒有理由用一個「尚有爭議』的判據來給我自己的論文判刑。」阿爾布雷希特冷冷地看著他。 「穆勒。」
「判據有沒有爭議，不是你說了算的。」
「也不是林德格倫說了算的。」
「是把它代進去之後，結果自己說了算的。」
「你代了入了，我們才能一起討論它。」
「你不代入，我們連討論都沒法討論。」
霍夫曼，這位坐在阿爾布雷希特身邊的總協調人，一直沒說話，只是嘆了口氣。
屋子裡的兩個人都聽見了。
阿爾布雷希特的目光從恩格爾哈特身上挪到了霍夫曼身上。
霍夫曼也沒看他。
他只是低下頭，把面前那一份comment輕輕地合上。
阿爾布雷希特懂了。 他這位負責數學反演這一塊的總協調人，已經判了。
恩格爾哈特那條路已經不再值得他們這一組繼續往下投精力了。
不是李東對沒對的問題。
哪怕他們假設李東不對，他們這一組按恩格爾哈特那一族權重往下推下去，已經推了快兩年了。明明每一步都是對的。
明明每一個數據都很好。
可他們就是出不來。
他們組裡頭的幾位年輕人，私底下早就開始嘀咕了。
「穆勒老師那條路是不是有問題？」
之前沒有人敢說出來。
現在李東掛出這一篇comment。
他們等於是借李東的尺子，把心裡頭藏了一年多的那一句話量了出來。
霍夫曼那一口氣，嘆的就是這個。 阿爾布雷希特看著窗外。
窗外慕尼黑的天，灰濛濛的。
他在心裡頭默默地說了一句。
「恩格爾哈特……」
「我們這條路，得停一停了。」
合城。
中科大，微尺度物質科學國家研究中心。
三樓，主任辦公室。
王深、謝翼、馬蒂歐·列旺，三個人圍著一張桌子。
桌子上放著李東那一篇comment的列印稿。
旁邊還有列旺自己手寫的一摞稿紙。
王深已經在這間屋子裡頭坐了一上午。 他一句話都沒說。
他就坐在那兒，看著列旺。
從昨天傍晚開始。
列旺把自己關在隔壁那間客座教授辦公室裡頭。
整整一夜沒出來。
中間王深去敲過一次門，列旺沒應。
王深再去敲了一次，列旺只開了一條縫，跟他說了一句。
「王主任，再給我半天。」
王深和謝翼聽完那一句，誰都沒去打擾他。
他們倆心裡頭其實都已經有了一種預感。
不太好的那種。
合城這邊，兩個億的專項卡了好幾年。 整個項目最後挑出來的那條最有希望的路就是數學反演。
請列旺過來，就是奔著把這條路鑿穿來的。
如果李東的判據真是對的……
那這條路從根上就走不通。
整個項目就要從頭再找方向。
這不是開玩笑的事。
所以他們必須讓真正吃這一行飯的人來判斷一次。
列旺張了張嘴。
最後只說了五個字。
「東的判斷……沒問題。」
王深聽到這話，突然嘆了口氣。
「這條路，走不通了。」 同樣的事，也在更多的地方發生。
全球十幾個小組，幾乎是不約而同地拿起李判據，往自己手底下那一摞稿子上頭量了一遍。量完以後。
他們都嘆了一口氣。
嘆這一口氣，裡頭其實有兩種東西。
一种放松。
德國馬普阿爾布雷希特那一組人，跑得最遠的那一組，原來也卡在那兒。
他們也沒真正走通。
另一種則是擔憂。
數學反演這一條路，是過去這幾年裡，全行公認離「摘星」最近的那一條路。
現在這一條路走不了了。
那剩下的路在哪兒？
誰也不知道。 至少他們這一行的人，誰也不知道。
一除了一個組。