第五十九章 讓人滿意的學生
達內爾的自行車拐進108街的時候，路燈已經亮了。
橘黃色的光從頭頂照下來，把柏油路面上的坑窪和裂縫照得一清二楚。
遠處傳來J線地鐵在高架軌道上剎車的尖銳聲，和某棟樓里正在播放的說唱音樂混在一起，低音鼓點震得臨街的玻璃窗微微發顫。
達內爾在公寓樓門口停下來，單腳撐地，林安從后座上跳下來，活動了一下被顛得發麻的腿。
達內爾把自行車鎖在門口的消防栓上，鏈條鎖穿過前輪、車架和消防栓，啪嗒一聲扣上。
一般人的自行車在牙買加社區這樣鎖，第二天鐵定會消失，但是達內爾似乎並不擔心這個問題。
兩人走上台階，上到二樓。
達內爾掏出鑰匙開了門，屋裡的暖氣片還是涼的，三月的夜風從窗戶的縫隙里鑽進來，帶著冰冷的氣味。
達內爾把自己扔進沙發里，沙發彈簧發出一聲不堪重負的呻吟，林安在窗邊的摺疊椅上坐下，欣賞著窗下的西洋景……不知道什麼原因，兩個倪哥正在下面大打出手，打得不亦樂乎呢。
「Bro。」
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達內爾開口了。
「嗯？」
「你說那個清潔公司的事，我能不能帶幾個朋友來上班？」
林安看了他一眼。
「什麼樣的朋友？」
「就是……」
達內爾抓了抓後腦勺。
「社區裡的，住在這附近的，有幾個跟我從小一起長大的，現在都在打零工，有一頓沒一頓的。
還有個是我表弟，剛滿十八，他媽天天念叨讓他找個正經活。」
他頓了頓。
「他們幹活肯定比那些流浪漢靠譜，至少不會半夜偷東西吃。」
林安樂呵呵地笑了一下。
「沒問題。」
達內爾的眼睛亮了一下。
「真的？」
「真的，你想帶幾個就帶幾個。」
林安靠在摺疊椅的椅背上，繼續看窗下的鬥毆，然後看著看著，他猛然愣住了。
【主播怎麼了】
【在想什麼】
【達內爾說帶朋友來上班，主播說沒問題，然後主播就這樣了，達內爾的事情有什麼不妥嗎？】
【這不是挺好的嗎，有什麼問題】
林安慢慢把窗戶關上。
事情確實有點不妥，但是不是達內爾的，而是自己的事情。
林安突然間發現自己有所疏忽。
開清潔公司這件事，他一直在想的是怎麼用最便宜的人工……流浪漢，不僅能節約工資，還能起到慈善作用。
但達內爾說了一句話，像是一根針讓林安意識到自己的想法有問題。
「我能不能帶幾個朋友來上班？」
這不是一個員工招聘問題。
這是一個人情世故問題。
林安靠在椅背上，眼睛盯著天花板上那盞沒開的吊燈，吊燈的燈罩上積了一層灰，邊緣掛著一縷蛛網，在窗口灌進來的風裡輕輕晃動。
他忽略了牙買加社區，清潔公司要在這裡接活的話，就不能，也不應該忽略本地人的意見。
老喬勉強算是本地人，但是流浪漢在美國這邊算不上人的，在他重新站起來之前，老喬只能算是半個人。
如果在一個治安不理想的社區內開公司，只招募流浪漢，卻一點福利都沒給本地人留的話，肯定會有麻煩，有103分局照顧都不行。
除了本地人之外，103分局也要考慮一下。
如果103分局的某個警察，在靶場裡一邊換彈匣一邊隨口說「林博士，我老婆的妹妹最近在找工作，你們那個清潔公司還要人嗎」？
他能說不要嗎？
他不能。
林安的手指在膝蓋上輕輕敲了一下，他開始重新算帳。
他之前算的帳太窄了，他只算了人工成本，卻沒有考慮到人情世故。
員工名單必須要改一下，
103分局警察的家屬，社區裡有頭有臉的人介紹來的，達內爾這種——土生土長的牙買加人，無法忽略，他們進公司才是正式工。
至於流浪漢？
流浪漢當然也要用，他們便宜，只要包吃包住，待遇到位，他們什麼都願意干。
但他們不應該是正式員工。
他們是臨時工。
日結工資，不給合同，不報稅，不交社保，需要的時候就叫來，不需要的時候就讓他們在廠房裡待著，管吃管住。
至於這些流浪漢是否願意？
不願意干就滾蛋唄。
中國一句老話，你不干，有得是人干，大街上一大堆流浪漢，你不勤快，不潔身自愛，一點剝削價值都沒有，林安要你做甚？
要是在中國，林安這樣干肯定是不行的，不僅道德上不允許，法律也有問題，可是在美利堅這個資本主義國家，林安的行為反而算得上善良。
林安站了起來，從打賞列表中拿出筆和紙，開始寫寫畫畫起來，為還沒有開始的清潔公司規划起內部員工類型和等級。
清潔隊的名額，要分成三類。
第一類：正式工，留給103分局的關係、社區的關係、達內爾推薦的人，要簽合同，該買的保險全部買齊，名額有限，寧缺毋濫。
第二類：臨時工，從老喬找到的流浪漢里挑，幹活賣力的、不偷懶的、不吸毒的，日結，包吃包住包衣服和日常用品，隨叫隨到。
第三類：雜活隊，從社區內的流浪漢找人，干廠區裡的雜活，不參與重要工作，打掃、搬運、修繕……管吃管住，日結工錢，包吃，但是不包吃好，住宿有，卻是睡大通鋪，表現好的雜工，可以升到臨時工。
三道台階。
每上一級，待遇就好一級。
寫好東西後，林安閉上眼睛開始養神。
清潔公司的框架，在他腦子裡越來越清晰了。
……
有了計劃，但是林安並沒有急著去實行。
有些事情可以急著來，比如說復仇，但是有些事情卻不能急，越急越容易出錯。
有些時候，急不是快，穩才是。
所以，克里斯並沒有急著對外公開自己的計劃。
在隔天拿到了學生證之後，林安第一時間就是在達內爾所在的公寓租房子，花了一千二百美刀一個月將其三樓給租了下來。
以林安目前手裡的現金，他可以前往更好的社區，租一套更好的房屋，但是他不樂意。
在黑人社區，一個黃種人住下來確實有些扎眼，但是有達內爾的幫助，這樣的扎眼又算不上什麼。
很多事情就是那樣，同樣的環境，有人帶著，你便是如魚得水，沒人管你，那這就是地獄。
林安也是如此，有著達內爾跟著他，一些即便是喜歡玩歧視的倪哥，也不敢在林安面前表現出來……至於，他們背後蛐蛐自己的可能性，那林安也沒轍，也懶得和這幫子沒有未來的二傻子計較。
只要他們不敢在林安面前當面發瘋就行，其他的，你又不是美刀，憑啥讓所有人都喜歡你。
林安在牙買加定居的第一個原因，便是達內爾和其家人。
至於牙買加社區的惡劣環境，這對於林安來說，這是壞事嗎？
租房子是最重要的第一件事情，而第二件事情，便是教授的事情了。
既然林安成為了教授的學生，那麼一些學生該做的事情，他也應該稍微意思一下。
……
四月一日，愚人節，下午兩點，哥倫比亞大學數學辦公樓。
四月的陽光從拱形窗戶斜照進來，在暗紅色的橡木地板上投下一塊塊明亮的光斑，窗台上那盆半死不活的綠蘿還在。
羅伯特·傑羅教授坐在他那張老舊的皮面辦公椅里，面前攤著一本最新一期的《數學金融期刊》。
「咚咚咚……」
門被敲響了。
「進來。」
林安推門而入，手裡拎著一個牛皮紙袋。
他今天穿得比之前正式了一些，一件淺藍色的牛津紡襯衫，外面套著一件深灰色的V領毛衣，下身是一條熨燙過的卡其色長褲，腳上是一雙擦過的棕色樂福鞋。
傑羅教授的目光在他身上停了一下，嘴角微微動了動，沒說話。
林安在辦公桌對面的木椅上坐下，把牛皮紙袋放在桌上。
「給你帶了點東西。」
他說。
傑羅教授打開紙袋，往裡看了一眼。一盒藍莓，兩袋混合堅果，三包全麥餅乾，還有一瓶維生素D補充劑。
「這是什麼？」
「慰問品，你辦公室里那盆綠蘿都快死了，我估計你也不怎麼出門曬太陽。」
林安說話有些隨意，傑羅教授樂呵呵的把紙袋放到一邊，沒有說謝謝，但也沒有拒絕。
他摘下老花鏡，用兩根手指揉了揉鼻樑，然後重新戴上，看著林安。
「前段時間我讓你看十七本書，今天剛好我有時間，你又有空，那我就需要知道，你到底會什麼。」
林安的表情沒有變化，他甚至笑了笑。
「當然，教授。」
傑羅教授轉身拉開抽屜，從裡面拿出一疊裝訂好的列印紙，放在桌上，紙張的邊緣整齊，封面是空白的，沒有任何標題。
「這是一道題。」
他說。
「準確地說，是一道我用來篩選博士生的題目，每年我都會給新來的博士生做這道題，題目涉及隨機微積分、偏微分方程、數值方法和金融建模四個方向，每個方向一道子題，一共四道。」
他的手指在列印紙上輕輕敲了敲。
「我給你的時間限制是四個小時，通常情況下，能在一個下午做完四道題的學生，已經具備了獨立研究的基礎，能做對三道題的，需要補一些課……
只能做對兩道題的，我會建議他考慮換一個方向。」
林安看著那疊列印紙，沒有伸手去拿。
「如果有人全做對了呢？」
傑羅教授沉默了一秒。
「從來沒有過。」
他看著林安。
「不是沒有人全做對，是從來沒有人能在四個小時內全做對。我的題目設計，第四道題的難度是故意超綱的……
它需要用到至少兩篇近三年頂刊論文裡的方法，一個剛入學的博士生，不可能在四個小時內讀完兩篇論文、理解方法、然後應用到題目里。」
他的嘴角微微彎了一下。
「如果你能做到，我就承認我招了一個天才。」
林安伸出手，把列印紙拿過來。
封面翻開，第一頁是手寫的題目，是關於隨機微積分的，涉及伊藤引理和測度變換。
第二道題是關於偏微分方程的，自由邊界問題。
第三道題是關於數值方法的，蒙特卡洛模擬的方差縮減技術。
第四道題……
林安的目光在第四道題上停了一下。
題目只有三行字，但每一個詞他都認識，組合在一起卻像是某種暗號，對於這道題，他還真沒學過。
【操，第四道題我看都看不懂】
【第一道我大概明白，伊藤引理，這個我學過】
【第二道自由邊界問題，美式期權定價的經典框架，但是他的邊界條件設置得很刁】
【第三道方差縮減，控制變量法和對偶變量法，這個不難，但計算量大】
【第四道是什麼東西？】
【讓我看看……等一下，這好像是Longstaff和Schwartz在2001年那篇論文裡的方法？不對，他做了變形】
【不是Longstaff-Schwartz，更像是2005年那篇關於提前執行特徵的論文，但題目里加了一個跳躍項】
【跳躍項？那就不是標準的美式期權了，是帶跳的美式期權定價，這個在2009年還沒有解析解】
【所以這道題不是讓學生解的，是讓學生證明自己讀了多少論文】
【教授剛才說了，這道題是故意超綱的，就是看學生能不能在四個小時內找到正確的方法】
【換句話說，這不是考知識，是考學習能力】
【操，這不就是開卷考試嗎】
【開卷考試最難了】
【會難倒我們嗎？】
【等著，我這邊有一台伺服器，我開AI幫主播算一下第四道題】
林安把列印紙合上，放回桌上。
「有紙和筆嗎？」
傑羅教授從抽屜里拿出一疊空白列印紙和一支鋼筆，推過來，然後他看了一眼手錶。
「現在是下午兩點零七分，六點零七分，我來收卷。」
他站起來，從椅背上拿起一件深棕色的舊西裝外套，穿在身上。
「我去系裡開個會，四個小時後回來。」
他走到門口，轉過身。
「你可以用我的書櫃，任何一本書，也可以用電腦查資料，這是開卷考試。」
傑羅教授頓了頓，他剛想說……但你不能問任何人。包括手機里的任何人。
但是他看著林安一眼，想了想，如果後者打電話找人詢問就能解開第四道題，那就有點太小瞧自己了。
算了，這事情沒必要提。
林安點了一下頭，傑羅教授便推門出去了。
辦公室里安靜下來。
林安把列印紙重新翻開，四道題攤在桌面上，既是方便自己讀一遍，也是方便彈幕老爺來看。
讀完之後，林安心裡有數了，第一道和第二道題，他能做，而第三道以後，就摸不著頭腦了。
理清楚思路後，他沒有開始做題，而是走到書櫃前。
傑羅教授的書櫃占據了整整一面牆，從地板到天花板，一共八層。
書籍按照主題分類，包括隨機分析、偏微分方程、數值方法、金融建模、風險管理、時間序列、優化理論等，每一層架子的書脊下方都貼著手寫標籤。
林安的目光從書脊上掃過去，在某些書名上停一下，然後移開，讓彈幕老爺們確認傑羅教授的知識體系是怎麼搭建的。
確認完之後，他回到桌前，拿起筆。
第一道題，隨機微積分，伊藤引理，測度變換，吉爾薩諾夫定理。
他的筆尖落在紙上，開始寫。
四十分鐘後，第一道題寫完了，林安活動了一下手腕，開始做第二道題。
自由邊界問題，美式期權定價的偏微分方程框架。
林安的筆速比第一道題快了一些。
第二道題做完的時候，時間過去了兩個小時。
窗外的陽光從白色變成了淡金色，從窗戶的另外一側照進來，在地板上投下了新的光斑。
林安沒有急著做第三道題，而是讓彈幕老爺們先看一下，確定這兩道題自己答得沒有大毛病，只有一些小問題需要修改一下後，林安就淡定下來了。
而第三道以後，林安就得靠彈幕老爺指點了。
彈幕開始熱鬧起來。
【第三道題我來，蒙特卡洛方差縮減，控制變量法和對偶變量法，這玩意兒我博士論文就做的這個】
【控制變量那部分的希臘字母選擇要注意……】
【對偶變量法簡單，直接取反路徑就行，但是題目里有個陷阱，他給的隨機數生成器是Sobol序列，低差異序列的對偶變量需要重新構造】
【操，Sobol序列的對偶？這個我沒做過】
【用1減去每個維度的值就行，Sobol序列是[0，1]區間均勻分布，對偶就是1-x】
【但是高維Sobol序列的對偶會破壞低差異性質，方差縮減效果會打折扣】
【題目問的就是這個，為什麼打折扣？怎麼修正？】
【修正方法是用Brownian橋重新構造路徑順序，把最重要的維度放在前面，對偶只對前幾個維度做】
【對，這個在2005年Glasserman那本書里有講……】
【書架上有沒有這本書？】
林安站起來，走到書櫃前，他的目光從那些書脊上掃過，彈幕老爺們也在幫他一起找。
【第三層，左邊，深藍色封皮那本】
【對，就是那本，Glasserman】
林安抽出那本書，翻開目錄，找到第五章，回到桌前，他把書攤開放在一邊，開始寫第三道題。
第三道題的計算量很大，蒙特卡洛模擬的方差縮減，涉及到控制變量和對偶變量兩種方法的對比，還需要分析為什麼在高維Sobol序列中對偶變量法的效果會打折扣。
林安的筆速不快，但很穩，每一個步驟都寫得清楚。
彈幕在幫他校核。
【控制變量的係數算錯了，應該……】
【路徑數你設的是N=10000？題目要求的是95%置信區間寬度不超過0.01，你算一下需要多少路徑】
【我來算……大概需要四萬條路徑，10000不夠】
【對，而且Sobol序列要求路徑數是2的冪次，所以應該是65536條】
【65536條路徑，用對偶變量法等效成131072條，方差減半，置信區間寬度除以根號2，剛好夠】
林安停了一下，把之前寫的數字劃掉，重新計算。
第三道題做完的時候，時間過去了三個小時。
窗外的陽光從淡金色變成了更深的琥珀色，在地板上投下了長長的光影。
林安活動了一下有些發酸的手腕，把第三道題的答案整理好，放在一邊。
三道題的答案加起來已經寫了密密麻麻的六頁紙。
然後他看向第四道題。
題目只有三行字。
+考慮一個帶跳躍過程的美式期權定價問題。
標的資產服從Merton跳躍擴散模型，跳躍幅度服從對數正態分布。
請提出一個可行的數值定價框架，並討論提前執行邊界的性質。+
三行字。
沒有參數，沒有邊界條件，沒有具體的期權條款，就是這三行字。
這下子，林安是真沒招了，只能完全靠彈幕老爺了。
【操，這題也太開放了】
【Merton跳躍擴散模型加美式期權，2009年確實沒有解析解】
【不僅沒有解析解，連成熟的數值方法都沒有，LSM算法是2001年提出的，但那是針對純擴散模型的，帶跳的LSM要到2010年以後才有系統研究】
【所以教授說這道題是超綱的，他不是要學生做出來，是要看學生能不能找到正確的研究方向】
【方向是什麼？】
【等著，我這就去找老登，讓他幫忙】
【什麼老登能幫忙？】
【就是我這邊世界的羅伯特·傑羅】
【這好嗎？】
【有什麼不好，我這邊的老登先是因為山火，把在洛杉磯的老家給燒了，接著是金毛股神亂來，把他的養老金給乾沒了，然後是……】
【總之，他破產了，被美國斬殺了，我拉他一把，現在老登在國內當教授，我是他的助教，讓他幫個忙怎麼了】
看到這裡，林安把題目攤在桌面上，沒有急著動手。
【我去問老登了，他正在上課，得等下課】
【行，那我們先幫主播把前三道題的細節再過一遍】
【第一道題伊藤引理的應用，有個地方需要注意，測度變換的時候，漂移項的符號……】
【第三道題路徑數……】
彈幕老爺們把前三道題從頭到尾又過了一遍，找出三個小問題：一個積分符號的上下限寫反了，一個希臘字母的下標漏了，還有一個地方的假設條件沒有明確寫出來。
林安一一改過來。
改完之後，他靠在椅背上，活動了一下脖子。
第四道題還攤在桌面上，三行字，像三堵牆。
【老登下課了，我把題給他看了】
彈幕突然炸了一下。
【他怎麼說？】
【他沒直接說答案，他說這個題他出過很多年，每年都換一個變體】
【那這個變體怎麼做？】
【他說，這道題的關鍵不在於「解」，在於「框架」，Merton跳躍擴散模型加美式期權，2009年確實沒有成熟的數值方法，但如果能把問題拆成三部分，就能給出一套可行的框架】
【哪三部分？】
【第一，用傅立葉變換處理跳躍部分，……】
【第二，美式期權的提前執行特徵，用最小二乘蒙特卡洛……】
【第三，提前執行邊界的性質……】
【老登說，他出這道題的目的，就是看學生能不能意識到這三部分之間的關係】
【能寫出這個框架的學生，說明他已經具備了獨立做研究的能力，不是只會套公式】
【操，這也太難了】
【老登還說了什麼？】
【他還說，這道題他每年都出，每年都沒有人能在四個小時內做出來，做得最好的一個學生，用了三天，寫了一個大概的框架，後來那個學生去了高盛，現在是MD了】
【老登問，是誰在做這道題？】
【你怎麼說的？】
【我說是一個朋友，他在做你09年的題，然後他說了一句話】
【什麼話？】
【他說，「第四道題不用寫完整的答案，寫出框架和思路就可以，因為做題者到這一步，已經證明了自己。」】
【什麼意思？】
【字面意思】
林安看著彈幕，嘴角微微翹了一下。
他沒有說話，拿起筆，開始抄第四道題的答案。
他抄了大概四頁紙，不多，但每一個段落都踩在最關鍵的點上。
寫完最後一個字的時候，門外響起了腳步聲。
林安看了一眼時間……五點五十三分。
他還有七分鐘。
他把四道題的答案按照順序整理好，第一道題三頁，第二道題兩頁，第三道題四頁，第四道題四頁，加起來十三頁紙，整齊地疊放在桌面上。
鋼筆的墨水還剩小半管。
他把筆帽擰上，放在答案旁邊。
門被推開了。
傑羅教授走進來，走到辦公桌前，把保溫杯放下，看了一眼桌上那疊整整齊齊的答案，又看了一眼林安。
「做完了？」
「做完了。」
傑羅教授坐下來，摘下老花鏡，用袖口擦了擦鏡片，重新戴上，他拿起那疊答案，從第一頁開始看。
辦公室里安靜極了。
傑羅教授看得很慢。
他看第一道題的時候，嘴角微微動了一下。
第二道題，他的眉毛抬了一下。
翻到第三道題的時候，他停了下來。
他看著林安寫在答案後面的Sobol序列偽代碼，看了大概兩分鐘，然後他把這一頁抽出來，單獨放在一邊。
林安沒有說話。
傑羅教授繼續翻到第四道題。
他看到第一頁的時候，身體微微前傾了一點。
看到第二頁的框架描述時，他的手指在桌面上輕輕敲了一下。
看到第三頁那個鋸齒狀提前執行邊界的草圖時，他的手指停住了。
羅傑把第四道題的四頁紙從頭到尾看了兩遍，然後他把整份答案合上，放在桌面上，摘下老花鏡，用兩根手指揉了揉鼻樑。
「四個小時，你把前三道題做完了，第四道題居然還寫出了這個框架。」
教授的聲音有點驚訝，他把老花鏡重新戴上，看著林安，眼睛裡無比的欣賞。
「你是怎麼想到用傅立葉變換處理跳躍項的？」
「Merton模型的特點是對數價格的特徵函數有封閉形式。」
林安說。
「跳躍擴散過程的特徵函數是純擴散部分和跳躍部分的乘積。既然特徵函數是封閉的，傅立葉變換就是最自然的工具。」
傑羅教授點了一下頭，沒有說對，也沒有說錯。
「那最小二乘蒙特卡洛的擴展呢？Longstaff-Schwartz的原始論文只處理了純擴散模型，你怎麼知道可以把跳躍項作為控制變量加進去？」
林安沉默了一秒。
「因為跳躍項是一個低方差的增量。」
他說。
「在蒙特卡洛模擬里，任何能被解析表達的部分，都不應該被抽樣。
跳躍的發生時間服從泊松過程，跳躍幅度服從對數正態分布，這兩個部分都可以用解析公式計算條件期望。
把它們作為控制變量，可以讓LSM的回歸只聚焦在擴散部分的非線性上。」
傑羅教授的手指在桌面上輕輕敲了兩下。
「這個思路，你在哪裡看到的？」
「我自己想的。」
這是一個謊言。
但這個謊言，沒有人能戳穿，因為這個思路來自另一個世界裡的羅伯特·傑羅教授本人。
傑羅教授看著林安，嘴角翹起。
「你最近幾天有空嗎？」