第三輯 數學
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為什麼國家強盛必然數學先進
從歷史上看，在一個國家經濟發展、國力強盛之時，數學水平必然會隨之上升，這個國家就成為數學強國。17世紀英國進行產業革命，牛頓也在數學和力學上做出了革命性的貢獻。資本主義大生產使法國的拿破崙政權十分強大，當時的數學中心便移到法國去了。19世紀下半葉，德國後來居上，生產水平超過法國，數學界也出現了像高斯這樣的大數學家，數學實力漸漸在法國之上。20世紀初，美國工業經濟發展異常迅速，數學在1930年開始雄踞世界首位，普林斯頓高等研究院成了世界數學中心。另一方面，前蘇聯在20世紀中葉成為超級大國，莫斯科大學的數學水平可以和普林斯頓相媲美。冷戰時期，世界數學的格局是前蘇聯和美國領先，西歐緊隨其後，日本則迎頭趕上。
數學是科學發展的基礎。經濟發達了，科學技術進步了，就會提出許多重大的數學問題，鼓勵數學家進行創造。強大的國防力量，也需要數學工作加以支持。人們常說，在資訊時代，許多高科技說到底乃是一種數學技術。
中國是有優秀數學傳統的國家，隨著中國國力的增強，中國的數學水平也在迅速提高。我國的數學家為原子彈、氫彈、人造衛星的研製做出了重要貢獻。與此同時，中國的純粹數學研究也在大步前進。陳景潤的「哥德巴赫猜想研究」以及其它一些分支的研究成果，已經達到世界領先水平。在國際數學家聯合會裡，中國(含台灣)是有5票投票權的數學強國之一。但就整體實力而言，中國的數學研究實力還達不到世界一流水平。所以，中國數學家有一個雄心壯志：使中國成為21世紀的數學大國。要實現這一目標，還需要幾代人共同努力。希望寄托在未來的年輕一代身上。
知識點：數學、基礎、實力
為什麼要學好數學
從我們上小學一年級開始，直到高中三年級，這十二年的時間中，年年都要學習數學。在中小學課程中，數學、語文、外語並稱三大主幹課，世界各國都是如此。這主要有三方面的原因：
數學和語文、外語一樣，也是一種語言，它是科學的語言。它使用數字、符號、公式、圖像、概念、定理等位置關係，對於人類認識世界、探索未來起了很重要的作用。不懂數學，就不能理解科學。
數學對於培養、訓練人的理性思維十分有益。如果說語文能用來表示人的感情、願望、意志、進行形象思維的話，那麼數學主要用來進行概括、抽象、推理和論證等理性思維。數學嚴格精確、從不含糊，對於培養人的思維能力是必不可少的。
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數學用途廣泛。小至上街買東西，大到設計飛機、火箭，控制衛星運行，全離不開數學。而且一個國家數學水平的高低，反映了國家是否強盛。它是科學發展的基礎，它的發展進步，推動了科學技術的向前發展。
有的同學並不喜歡學習數學，常常是為了應付考試才去努力學習。其實中小學課本中講授的數學知識都是數學的基礎內容，是今後生活、工作、學習中心不可少的，如加減乘除，要反覆計算，做起來很枯燥，但實際上哪裡都能用上，買東西算帳、丈量土地、做設計，哪一樣又能離開數學呢？
數學是研究數與形的科學，凡是有「數量大小」和「形狀位置」的事物都離不開數學知識。因為數學具有抽象性的特點，所以看上去乾巴巴，很枯燥，但它往往會出人意料地不知在什麼地方派上用場，讓你大吃一驚。
知識點：數學、語言、理性思維、用途
為什麼說0的意義不是沒有
上學以後我們最先學習的是算術課，便認識了0這一數字，它可能是你所學過的最小的數字了。那麼0是什麼含義呢?若用手指數鉛筆盒內鉛筆的數目，1代表一支鉛筆，則0便表示無鉛筆，0的意思便是沒有，若你學過減法，而10減10等於0，意思是說減沒了，好像10個蘋果讓人吃掉了，最後一個不剩。看來0確實表示沒有。
平常0是表示沒有，可是它的意義不只表示沒有，有時有其他的意義。
在人們日常生活當中，天氣的冷熱程度用氣溫來表示，它隨著一年四季的交替而不斷變化。像0攝氏度表示什麼含義呢?它表示冰和水混合在一起的那個溫度，自0攝氏度以上為零上，零上17到22攝氏度即最適於人類生活的溫度；自0攝氏度向下則稱為零下，零下溫度，絕對值越大，則越寒冷。
再像在計算機內使用的0與1就不是算術上的0與1了，它分別代表電平的高低狀態，1表示高電平，0表示低電平，這時0絕對並不是沒有，卻是一種相對較低的概念。
還有許多例子都能說明0在生活中有許多含義，不只表示算術內的沒有。實際0本身一樣充滿了矛盾。像任意多個數與0相加，0並不可以改變它們和的值；但許多個數相乘時，只要其中有一個數若是0，它的乘積就是0，看0的威力有多麼大啊。要解決這樣的矛盾問題，我們一定要知道數學上的概念都是相對的，絕不是不變化的，0也是這樣。
0在數學上是一個十分重要的數字，0至1的飛躍便體現了自無到有的過程，而1至百、千、萬的變化也體現了很多的不同。0不只表示「沒有」，而為「有」奠定了基礎。但在生活中0較多地表示一種狀態，為0以下與0以上的狀態提供了可參照的標準，它的含義並不是「沒有」能說得清楚的。
知識點：沒有、意義、含義、狀態
為什麼1+1可以等於1
我們初學算術時，就已知道1+1=2了，這是確定無疑的。假如有人做加法而1+1的答數不是2，那就要得0分。但是，當我們學到了二進位制的計數法後，就知道在二進位制里1+1：10而不是1+1＝2了。由於在二進位制里，根本就沒有2這個數字。
現在這裡又寫了這樣一個等式1+1＝1。到底是什麼道理呢?這叫做邏輯代數中的加法。
在邏輯代數裡，也與二進位數一樣，我們只有兩個符號：1和0。但是二進位制數里的1，確實表示一樣東西1，1是真正的數。0則表示沒有，它也是真正的數字。而且在邏輯代數裡，1和0並不是數字而是符號。在一般的邏輯電路中，1表示電路是通的，0表示電路是斷的。
例如有一個電路：在這個電路里，E是電源，例如是幾隻乾電池。P是一隻小的燈泡。電路里通了電以後，小燈泡P就發光，這個時候的符號是1。電路里斷了電以後，小燈泡P就不發光，這個時候符號是0。
A和B就是兩個開關。按上了就通電，拉開了就斷電。現在假如開關A按上，開關B拉上。那電路通過開關A接通了，燈泡P亮了，得1。
假設開關A拉開，開關B按上。那電路通過開關B接通了以後燈泡P亮了，也得1。
現在假如把開關A及開關B都按上，兩條電路全接通了，那就應該是1+1了。但是燈泡P只可以發同樣的亮光。所以也還是1。
因此，用數學式子來表示，就得1+1=1。
從這幾個情況來看是完全正確的，開關A按上了是1，開關B按上了也是1，開關A和B一起按上了還是1，這究竟是為什麼呢?
這就叫邏輯代數的加法。
在我國四個現代化過程中，邏輯代數這樣的數學知識會慢慢變為人人都應該知道也能了解的常識了。從邏輯代數裡，我們可以知道，0和1，並不只是代表數，而是代表一種情況。因為有許多有關數字計算習慣用的法則，在邏輯代數裡就會發生一些新的概念。
數學家可以很成功地把樓梯開關的種種情況，通過一個數學式，變成0及1，並且還組成有趣的邏輯關係。我們日常在使用著的樓梯開關竟與數學密切的聯繫起來了，你想到過嗎?
知識點：二進位、邏輯代數、加法
為什麼會有「+－×÷=」這些符號
+、－、×、÷以及=這五個符號，小學生和學前幼兒也已懂得它們的意義以及用法，在高等數學裡當然少不了它們。但是它們的來歷確實經過了一段十分曲折的發展道路。
古希臘與印度人不約而同，都把兩個數字寫在一起，表示加法，如3+1／4就寫成了31／4。直到現在，從帶分數的寫法中還可能看到這種方法的遺蹟。
若要表示兩數相減，就把這兩個數字寫得離開一些，如6-1/5的意思就是6-1/5。
於是後來，有人用拉丁字母的P(Plus的第一個字母，意思是相加)代表相加；用M(Minus的第一個字母，意思是相減)代表相減。如5P3就表示5+3，7M5就表示7-5。到中世紀後期，歐洲商業開始變發達。許多商人常在裝貨的箱子上畫一個「+」字，表示重量超過一些；畫一個「-」字，表示重量還不足。文藝復興時期，義大利的藝術大師達文西在他的一些作品中也採用過「+」和「-」的記號。公元1489年，德國人威德曼在他的著作中開始正式用這兩個符號來表示加減運算。到了後來又經過法國數學家韋達的大力宣傳以及提倡，這兩個符號才普及，到了1630年，最終獲得大家的公認。
在我國，以「李善蘭恆等式」聞名的數學家李善蘭，也曾用「|」表示「+」；用「▲」表示「-」。因為當時社會上普遍使用籌算以及珠算來做加、減、乘、除，所以還沒有創立專用的運算符號。
後來人們開始採用了印度數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0(叫阿拉伯數碼，但發明者卻是印度人)，同時也採用了「+」和「-」的記號。至於×÷符號的使用，大約也不過300多年。傳說英國人威廉·奧特來德於1631年在他的著作上用「×」表示乘法，於是後人就把它沿用到今天。
中世紀時，阿拉伯數字十分發達，還出了一位大數學家阿爾花拉子密，他曾經用「3／4」表示3被4除。大多數人認為，現在通用的分數記號，來源就是出於這裡。至於「÷」的使用，能追溯到1630年一位英國人約翰·比爾的著作。人們估計他大概是根據阿拉伯人的除號「-」與比的記號「=」合併轉化而成的。
在國內，人們也曾把單位乘法叫「因」，單位除法叫「歸」，被乘數叫「實」，乘數叫「法」，乘的結果叫「積」。在除法中，儘管被除數與除數也叫「實」與「法」，但他們相除的結果，卻叫「商」。
現代許多國家的出版物中，都是用「+」、「-」來表示加與減，「×」、「÷」的使用則遠沒有「+」、「-」來得普遍。如，一些國家的課本中用「·」來代替「×」。在蘇聯或德國出版物中，很難看到「÷」，大多用比的記號「=」來代替。實際上，比的記號的用法可以說與「÷」號基本一樣，可以不必再畫出中間的一條線。所以，這個「÷」號，現在用得越來越少了。
在這些符號當中，等號是相當重要的。巴比倫以及埃及曾用過各種記號來表示相等，但是最先得到公認的，是古代大數學家丟番圖的記法esti和isas，簡寫為is。它們在中世紀，用來表示相等的記號有過特別大的混亂。第一個使用近代的「=」號的是雷科德的名著《智慧的磨刀石》，但「=」號直到18世紀才被普及，當時「=」號的兩條線的長度經常被畫得相當長。雷科德也曾說，他選擇兩條等長的平行線作為等號，原因是因為它們再相等不過了。
知識點：來歷、記號、公認、普及
為什麼要「先乘除，後加減」
為了防止四則混合運算時相互發生混淆，使計算得到一個已經確定的結果。人們先後結合生活和實際生產的各個需要，在四則混合運算中明確規定：要「先乘除，後加減」。為什麼科學家會如此規定呢?因為這樣規定是有一定道理的。它的理由如下：
1．這樣規定運算順序，更加符合生活實際需要。請看下面例子。
例1：王大媽到布店買了3米紅布，每米紅布17．8元，又買了2米白布，每米白布20．50元，買這些布一共需要用多少元錢?
列成算式：17．8×3+20．50×2
按照實際買布情況。先算出買紅布和白布各要付多少錢，然後算出一共要付多少錢。即應先算乘法，再算加法。
例2：一車化肥10噸，分給ABC三個隊，平均每隊分3噸，還剩下幾噸化肥?
列成算式：10-3×3
我們於是結合實際的那種情況，必須先算出一共分了多少噸化肥，於是得到「3×3」，然後用總數減去已分的噸數，就得出還剩下多少噸，即再算減法。
人們在生活和實際生產中，也會遇到先加減後乘除的一些問題，但是這比先乘除後加減的問題少多了。
2．在含有字母的式子中，我們會發現用乘、除號相互連接的算式，例如：x4、b÷5等可以被表示為4x、1/5b這些都可看做一項，而用加減號連接的式子，例如a-5、b+4等則分別表示兩項。
通常在計算時，我們會把一項看成一個數，這樣看來可使計算變得簡便。
例如我們解方程式：4x-56＝66，可以把4x看做是一個被減數來解此方程。這種規定可以大大簡化計算過程，提高計算效率，節約計算時間。
3．從數學的發展形式上可以看到，加減法是最基本的運算，它們是數量變化的最低級的表現形式，先有加減法。乘除法是在加、減法經常運用的基礎上產生和發展的。相同的數字連加產生乘法，相同的數字連減產生除法。
由此可見，乘除法比加減法更高級，在計算效率上比加減法更為提高一個新高度，所以我們把加減法看做第一級運算，把乘除法看做是第二級運算就是這個意思。這種類似的例子在實際運用中舉不勝舉。這裡不再一一列舉。
綜上所述，運算順序的規定是人們在生產和生活實際基礎上，以及為了使計算更為簡單化而產生的，所以這種規定是完全合理的。
知識點：生產、生活、簡單化、實際、提高
為什麼能從商品的條形碼上
讀出商品的價格呢
大超市裡的各種商品上都貼著一組平行排列的、寬窄不一的黑白條紋，這就是條形碼。付款的時候，商場裡的收銀員用一種特殊的設備在商品的條形碼上一掃，商品的名稱、價格等信息就讀到計算機里去了，真是又簡單又快速，太方便了。不知你想過沒有條形碼為什麼能存儲商品的價格信息呢？
條形碼是由黑色和白色的條紋組成的，但是這些條紋本身的長度和寬度並不一樣，有的寬些，有的窄些，有的還要長一點。請你仔細觀察幾個不同商品的條形碼，雖然它們表面上看起來很相似，但它們絕對是有差別的，我們肉眼也能看得出來。其實這些條紋的長短、粗細、顏色的變化代表了商品的信息。正如我們以前使用數字表示商品的名稱（如C91代表鉛筆）和價格（如鉛筆的價格是0.50元）一樣，那麼同在由於計算機技術的發展，我們使用條形碼來表示這一切，本質上是一樣的，只是表示的方法不同了而已。
條形碼的出現計算機科學的發展密不可分，它是由於計算機的普及而產生的新型技術，也稱為條碼技術。條形碼表示的信息只須能使用計算機設備來讀取，收銀員用來掃條形碼的設備是光電閱讀設備，也叫光筆。當光照到條形碼上時，黑白條紋產生很大的對比，從而轉化成不同強弱的電流，計算機根據電流和信號的不同查找保存在存儲器里的數據，就得到了商品的信息。奇妙的是從左到右或從右到左掃描條形碼都可以，讀出的信息是一樣的。條形碼的出現，提高了工作的效率，也保證了信息傳遞時的準確無誤。
你再仔細看看一個條形碼，會發現一組條碼的下面還有一串字符，實際上這也是條形碼的一個組成部分。加入這一串人可以識別的字符，目的是考慮到當識別條形碼的設備出現問題時的特殊情況下，這些字符就有用處了。它也記錄了商品的信息。
條形碼可以直接印刷到商品的包裝上，而且現在它也不局限於黑色、白色了，但必須是兩種對比反差很強烈的顏色才行。條碼技術廣泛應用於我們的生活中，幾乎所有出版的圖書都印有條形碼，極大地方便了借閱、購書的需要。連汽車工業也有自己的條碼系統呢！
知識點：條形碼、信息、差別、光筆、字符
為什麼地磚一般是正方形的或
正六邊形的
地磚的花色品種很多，可是，它們一般不是正方形的就是正六邊形的。這是什麼緣故呢?
在正多邊形中，只有三種能用來鋪滿一個平面，而中間沒有空隙，這就是正三角形、正方形和正六邊形。因為正三角形的一個角等於60°，六個正三角形拼在一起時，在公共頂點上的六個角之和等於360°；正方形的一個角等於90°，所以四個正方形拼在一起時，在公共頂點上的四個角之和剛好等於360°；正六邊形的一個角等於120°，三個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的三個角之和剛好等於360°。
如果用別的正多邊形，就不能達到這一要求。例如正五邊形的一隻角等於108°，把三個正五邊形拼在一起，在公共頂點上的三個角的和是108°3＝324°，小於360°，有空隙。而空隙處又放不下第四個正五邊形，因為108°4＝432°，大於360°。
六個正三角形拼在一起，雖然沒有空隙，但是它不及正方形和正六邊形好看。所以在藝術設計上，一般較多用正方形和正六邊形的地磚。
知識點：正方形、正三角形、正六邊形、地磚
為什麼大獎賽評分時要去掉最高分和最低分
校園卡拉0K大獎賽正在進行，一位同學唱完後，6個評委亮出了分數(10分為滿分)，由小到大依次為：9．00、9．50、9．55、9．60、9．75、9．90。按評分規則，去掉最高分和最低分，將其餘4個得分作平均，該同學的最後得分是9.90+9.55+9.60+9.75/4=9．60分。
為什麼要去掉最高分和最低分呢?這是為了剔除異常值。異常值就是過高或過低的評分，通常是由於裁判疏忽，或者欣賞興趣特別，甚至在個別情形下有意褒貶所造成的。為了減少異常值對正確評分的影響，去掉最高分和最低分是合理的。
這與數學上的中位數的概念有一定的聯繫。什麼是中位數呢?我們還是來看上面的例子，依次排列的6個數字中，處在中間的第3個和第4個數字的平均數就是中位數，即9.55+9.60/2=9.575。
如果評委的人數是奇數，譬如取前5個數字，則中位數是9．55，即第3個數字。處在中位數左邊的數值，只要不大於中位數，任意改變其數值，並不會改變中位數的值。同樣處在中位數右邊的數值，只要不小於中位數，任意改變其數值，也不會改變中位數的值。由此可知，中位數的數值不受特大及特小極端值的影響，而平均數則會受到每個數值的影響，所以，中位數有時比平均數更能反映平均水平。例如，某個班級10個同學參加某項考試，有兩人曠考算0分。10個人得分依次為：0、0、65、69、70、72、78、81、85、89。則其平均數是：
0+0+65+69+70+72+78+81+85+89/10=60.9
得65分的同學，其分數超過了平均數，按說屬於中上水平了，其實不然。如果除去兩名曠考的，他就是倒數第一名。這裡，平均數沒有真正反映平均水平。
那麼，乾脆剔除這兩個異常值，按8個人平均行不行呢?當然不行。這時只有取中位數比較合適。中位數是第5名和第6名分數的平均值，即：70+72/2=71。超過71分是中上水平，低於71分是中下水平。這裡，中位數才是真正的「中等水平」的代表。
當然，平均數也有優點，即考慮到了每個數字的作用。而去掉最高分和最低分的評分方法，正是吸收了平均數和中位數這兩種方法的優點，既去除了異常值，又發揮了大多數評委的作用，是比較合理的方法。
知識點：平均數、中位數、異常性、合理
為什麼在羅馬數字中沒有「0」
世界上每一個國家的文字都是不相同的，可是它們卻有一種相同的文字，不需要經過翻譯，每個人都會看得懂，這就是阿拉伯數字。0、1、2……9等，這樣寫起來既簡單方便，又容易看懂，所以各個國家先後都採用它來計數。「0」是一個奇特的阿拉伯數字，它是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這10個數字中誕生得最晚的一個。世界上各國早期使用過的數學中都沒有0這個字。那時，如果在記數的時候碰到了零，那就只有空上一位數字來表示。
估計是在公元6世紀，「0」就已經從東方傳到羅馬了。但即使如此傳播到，它仍在很長的一段時間之中也沒有能夠傳入歐洲各個國家。因為那些國家中通常使用的是羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ，而在原有的9個羅馬數字中本來就不存在0。羅馬教皇還自己認為用羅馬數字來表示任何數字不但完全夠用而且十全十美，他們甚至向外界宣布：「羅馬數字是上帝發明的，從今以後不許人們再隨意增加或減少一個數字。」0是被人們禁止使用的。
有一次，有一位羅馬學者在手冊中看到有關於0的內容介紹，他認為0對記數是很有益處的，於是便不顧羅馬教皇的禁令，在自己的著作中悄悄記載了一些關於0的用法，並把一些有關0的知識以及在運算中所起到的作用暗中進行傳播。
這件事被羅馬教皇知道後，馬上派人把他給囚禁了起來，並投入了監獄。教皇為此還大發脾氣地說：「神聖的數，不可侵犯，是上帝創造出來的，決不允許0這個邪物加進來，弄污了神聖的數！」再後來這位學者就被施以酷刑，從此以後就再也不能握筆寫字了。
但是，科學總是不依靠人的意志而改變，而是按它自身規律向前發展的。那些勇於保衛科學真理的數學家們經過數年刻苦艱難的探索，終於使0這個數字衝破種種阻力並得以在全國乃至世界通用了。0這個數的廣泛使用甚至超過了其他任何一個數字而具備了更多獨特的意義。
知識點：阿拉伯數字、科學、禁令
為什麼沒有最小公約數和最大公倍數
在數學裡我們曾學過最大公約數以及最小公倍數，或許你會提出問題，為什麼公約數要講最大，但公倍數卻又講最小呢?是否有最小公約數和最大公倍數呢?假如有的話，為什麼不講呢?
我們首先從一個具體情況來看：
例如有正整數16和24，它們有很多公約數，就是：1、2、4、8，它們的最大公約數是8，最小公約數是1。
再看正整數15和56，它們都只有一個公約數，就是1。我們從這裡能看出，任何兩個正整數，總會有公約數1，且1總是它們的最小公約數(公約數總是只講整數的)。兩個或兩個以上的數，它們的最小公約數既然總是1，就不必討論了。這也就是我們不談最小公約數的道理。但這並不是主要的道理。主要的道理在哪裡呢?
我們學習數學，主要的目的是，必須要數學知識為我們服務，而不只是拿數學知識做遊戲。兩個正整數的最大公約數，在分數約分里是用得到的。通過約去分子分母的最大公約數，我們就能把一個分數化成最簡分數。這樣就相當簡單了。而最小公約數1，卻沒有什麼用處。這就是我們不研究最小公約數的原因。
那麼，兩個正整數是否有最大公倍數呢?例如有兩個正整數16和24，它們的最小公倍數是48。顯然48乘上任何整數之後依然就是16和24的公倍數。
例如48×2=96，48×3=144，48×4=192，48×1000=48000等都是16和24的公倍數。由於自然數沒有最大的數，因此也就沒有最大的公倍數。
實際上，在分數通分的時候，也只須用到最小公倍數。假如用較大的公倍數，還不方便。既然沒有最大公倍數，也不需任何較大的公倍數，這就是我們只研究最小公倍數的原因。
知識點：公約數、自然數、通分
為什麼有近似值
有的時候可能有人將問你：「你們年級有多少位同學呀?」你並不知道確切的數字，可你知道你班上有35位同學，共有4個班，因此你會說：「大概140名吧！」這時你所給出的數字便是近似值，由於你不知到底有多少位同學，所以就用近似值取代了準確值；並且你的分析也十分正確，年級中總共有143位同學，你所給出的近似值與準確值是十分接近的。近似值是相對於準確值而說的。它非常接近準確值卻又絕不是準確值。而在我們的日常生活當中，近似值是廣泛應用的，由於有的時候我們不需要十分嚴格、確切，使用近似值完全能夠行得通。
若問到一個人的年齡時，人們大多只說多少歲，而不用說某年某月某日出生。除了是遇到了同年出生的人，才會用到某年某月某日出生。若人們問時間時，回答的人也一般只說幾點幾分，而不會精確到幾秒；但問路時，回答的人也會說大約200米、500米這樣的話，根本沒法準確地說出多少米，況且問路的人也絕不會因為聽到的是近似值而不滿意的。
可是有的時候使用近似值卻是完全行不通的。像收音機里每一小時的報時的信號，和真正準確的時間只差千分之幾秒，因此遠洋航行的輪船就能根據這個信號來確定自己的位置。像發射飛彈、定向爆破的定位裝置，都必須嚴格地計算角度、炸藥用量的數字，不然真是差之毫厘，謬以千里，結果是不堪設想的。
那麼何時使用近似值，何時使用準確值呢?這要看實際問題的需要，以實際問題的需要來決定應該準確到何等程度。
像談論年齡，我們僅準確到年；但談論時間，一般都要準確到分鐘；但體育比賽的結果，便要精確到秒了。
因此在各類不同問題中，量的準確選擇是絕對不同的。正像量布的長度和測量公路長度所要求的準確度是完全不一樣的。
知識點：人數、年齡、時間、實際
為什麼游泳圈也叫救生圈
只要游過泳的人便都有過使用游泳圈的記憶，當你套上五彩繽紛的游泳圈在水裡游泳、嬉戲的時候，你是否想到過，游泳圈的浮力有多大呢？為何它能把一個人托在水面上呢?而它的浮力是如何計算的呢?用數學知識我們應該知道，若把游泳圈充滿氣之後的體積，乘以水的密度，然後再減去游泳圈自身重量，再乘以常數g(9.8），得到的結果便是游泳圈所有的浮力。
水的密度一般在計算中可以取每立方厘米l克，即，每立方厘米的水的質量是1克。下面，我們看看游泳圈的體積如何計算。
要先把游泳圈充好氣，然後再用有刻度的直尺來測量一下下面三列數據：①環形的寬度w，它是游泳圈的環的寬度，要注意，在測量的時候要讓尺的延長線通過游泳圈的中心軸線，測量出的數據會比較準確。②游泳圈的高h。讓游泳圈平放在地上，量出它的高度。③充好氣之後游泳圈的內徑為r。有了這三個數據後，游泳圈的體積便可以按下列公式計算出：V＝1／2ππwh（r+1/2w）。
其中π為圓周率，取π=3．14，w、h、r分別為充氣之後游泳圈的環寬度、高度與內徑長度。讓我們來具體計算一下。市面上出售的一種沒充氣時最外邊的圓直徑是75厘米的塑料游泳圈。充足以後量得環寬w=17厘米，環高h=13厘米，環內徑r=15.5厘米，自重為170克。把這些數據代到計算公式里就可以得出V＝1／2×3.143×.14×17×13（15.5+17/2）=26148立方厘米。
這樣，這種游泳圈所具有的浮力大約是254.5牛頓（■×9.8）。
因為人在水中也受到來自水的浮力，若再加上游泳圈自身的浮力，便會把人托出水面，因此游泳圈也叫救生圈。
知識點：浮力、寬、高、內徑
為什麼汽油桶、熱水瓶是圓柱形的
汽油桶、熱水瓶等，都是用來裝液體的容器。不知平時你注意過沒有，裝液體的容器，大都是圓柱形的。這是否有數學方面的道理呢?有的。
我們生產一件容器，都希望可以用最省的材料，來裝一定體積的液體。或者說，用同樣的材料，做成的容器的容積最大。
在平面幾何里，我們學過計算圓面積以及一些正多邊形的面積或周長的方法。例如：一個面積為100平方厘米的正方形的周長是40厘米；而同樣面積的正三角形的周長大約等於45．6厘米；而同樣面積的圓的周長只有35．4厘米。也就是說，面積相同時，在圓、正方形與正三角形等圖形中，正三角形的周長最大，正方形的周長比較小，圓的周長最小。因此，裝同樣體積的液體的容器中，假如容器的高度一樣，那麼，側面所需的材料以圓柱形的容器最為節省。所以，汽油桶、熱水瓶等裝液體的容器，都是圓柱形的。
有沒有比圓柱形更為省料的形狀呢?有的。依據數學原理，用相同的材料做的一些容器中，球形的容器的容積總要比圓柱形的大。就是說，做球形的容器，能節約材料。但是，因為球形的容器易滾動，而且放不穩，它的蓋子也不容易做，因此不實用。
放固體的容器，例如盒子、箱子、柜子等，為什麼不去做成圓柱形的呢？儘管做圓柱形的容器相當省料，然而裝起固體東西卻不經濟，因此通常把它們做成長方體的。
知識點：液體、容器、節省
為什麼照相機用三角架而不用四角架
你肯定見過照相機所專用的三角架，它伸出來三條長長的腿，穩穩地托住上面的照相機，使拍出來的照片將不會因為拍攝者手的輕微移動而變模糊。除了照相機的三角架外，拍電影所用的攝像機也都有一個三腳架，往往腳上還有副輪子，以方便攝像機的移動。
在我們生活中有四隻腳的東西也很多，像桌子、椅子和各種鞋架子、超市裡的貨物架等等，不是都很穩當嗎?為何照相機卻不用四腳架，而用三腳架呢?
這是由於照相機利用了一個很重要的原理：不在同一條直線上的三個點，能確定一個平面，而且只能確定這一個平面，也就是說，那個平面是惟一性的，只可能有一個，絕對不可以有第二個。照相機的三個腳便構成三角形的各個頂點，它們不在同一條直線上，若按照上面的性質，這三點剛好構成了三腳架底面的惟一平面，三腳架上邊的照相機便穩當地固定在這個平面上，因為是惟一的平面，照相機才不會晃動，不會影響拍攝的效果。
在生活當中，我們也有這樣的經驗：有時候因為地面不平整，椅子的一隻腳總上下地動，一會向上，一會向下，讓坐在上面的人很不舒服。由於不在同一條直線上的三個點構成一個惟一平面，但椅子都有四個腳，相當於有四個點了，它們中的三點便構成了一個平面，剩下的那個點便可能在這個平面上，也可以不在這個平面上。若椅子的第四個腳不在另外三隻腳構成的平面上的時候，這隻腳便會懸著，椅子便晃了。
照相機若使用四腳架，就一定保證四個腳同時在一平面上方能穩定，這便要求地面十分平整，若地面不平，照相機便放不穩當。桌子、椅子與各種架子一般都是擺在室內，地面都很平整，但照相機可不一定全在屋內使用啊，有時還要在森林內拍照呢。那便不如使用三腳架了，三腳架對地面無要求，無論地面情況如何，照相機總能放得穩穩噹噹。這便是照相機使用三腳架的原因。
你曾經野營露宿過嗎?是否還記得大家生了火，便支了三根木棒，上面的瓦罐來煮飯燒水嗎?這與照相機三腳架的原理是同樣的，只是我們把照相機放在它上面，而把瓦罐吊在了下面而已，下次野炊的時候，可一定要動腦筋啊。
知識點：頂點、平面、平整
為什麼π值是永不循環的
有一個關於圓周率的歌謠，盛行於古代：「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂。」
圓周率是圓的周長與直徑之比，表示的是一個常數，符號是希臘字母π。人們為了計算圓周率，公元前便開始對它進行計算。魏晉時期劉徽曾於公元263年用割圓術的方法求到3．14，這被稱為「徽率」。
在公元460年，祖沖之應用劉徽的割圓術，算得圓周率為3．1415926。祖沖之所求的π值，保持了1000多年的世界紀錄。
1596年，荷蘭數學家魯道夫經過長期的努力和探索，把π值推算到15位小數，打破了祖沖之長達1000多年的紀錄，後來他本人又把這個數推進到35位。
18世紀初，圓周率達到72位。19世紀時，圓周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉·欣克用了幾十年時間，將π值算到707位。
到了1946年，世界上第一台電子計算機(ENIAC)問世美國，有人在計算機上用了70個小時，算出圓周率達到2035位。1955年達到10017位，1962年達到10萬位。1973年達到100萬位，1981年日本數學家把它推算到200萬位。1990年美國數學家繼續新的計算，將π值推到新的頂點4．8億位。
知識點：常數、割圓術、圓周率、推算
為什麼國王無法把棋盤裡的米賞給術士
從前在古印度有個國王，天性喜歡玩，有一次他下令在全國張貼招賢告示：如果誰能替國王找到奇妙的遊戲，將給予重賞。
一個術士（術士是指有謀略，有智慧的人）揭了招賢榜。他發明了一種棋，使國王玩得愛不釋手。於是，國王高興地問術士：「你對本王的賞賜有什麼要求？」術士趕忙拜倒說：「大王陛（bì）下，小小的術士沒有特殊要求，只請大王在那棋盤的第一個格子裡放下一粒米，然後在每一個格子裡都放進比前一個格子多一倍的米，六十四個格子放滿了，也就是我要求的賞賜了。」
國王一聽，這麼大個國家區區這一點米算得了什麼，於是一口答應了。可是，當國王找來算師一算棋盤中的米，頓時大吃一驚。原來即使把全國的米都運來，也無法填滿棋盤上的64個格子。
這是為什麼？國王究竟該賞給術士多少米呢？
我們來算一下：第一個格子是一粒米，第二個格子裡放兩粒米，共有三粒米，用公式表示為1+2=3=22-1，第三個格子中有四粒米，於是第一、二三個格子中一共為七粒米，1+2+4=7=23-1。再加上第四個格子中的八粒米，共15粒，1+2+4+8=15=24-1，……一直這樣加下去，可以推知64個格子中共有米為264-1，這個數是多少呢？大約等於18，446，744，073，709，551，615，共20位。啊！真是不算不知道，一算嚇一跳。這個數字之大是不可想像的，例如用倉庫來裝這些米，就要有高4米、寬10米的倉庫從地球蓋到太陽，再從太陽蓋回地球那麼長！
為什麼這個數字會這樣驚人呢？原來，聰明的術士是運用了數學上的幾何級數的知識，使得棋盤中米的數量沿幾何級數向上增長，使一粒米、兩粒米這樣的小數目很快變成了一個不可思議的大數字。缺乏數學知識的國王怎能理解幾何級數的奧妙呢？
知識點：米粒、幾何級數
為什麼時間和角度的單位
用六十進位制
時間的單位是小時，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關係。可是，為什麼它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢?為什麼又都用六十進位制呢?
我們仔細研究一下，就知道這兩種量是緊密聯繫著的。原來，古代人由於生產勞動的需要，要研究天文和曆法，就牽涉到時間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉，這裡自轉的角度和時間是緊密地聯繫在一起的。因為曆法需要的精確度較高，時間的單位「小時」、角度的單位「度」都嫌太大，必須進一步研究它們的小數。時間和角度都要求它們的小數單位具有這樣的性質：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數倍。以1/60作為單位，就正好具有這個性質。譬如：1/2等於30個1/60，1/3等於20個1/60，1/4等於15個1/60……
數學上習慣把這個1/60的單位叫做「分」，用符號「′」來表示；把1分的1/60的單位叫做「秒」，用符號「″」來表示。時間和角度都用分、秒作小數單位。
這個小數的進位制在表示有些數字時很方便。例如常遇到的1/3，在十進位制里要變成無限小數，但在這種進位制中就是一個整數。
這種六十進位制(嚴格地說是六十退位制)的小數計數法，在天文曆法方面已長久地為全世界的科學家們所習慣，所以也就一直沿用到今天。
知識點：時間、角度、六十進位制
為什麼說統計無處不在
統計數字是現代社會不可少的，大到國家每隔一定年限對全國人口進行的普查統計，小至一位老師在考試結束之後對學生的成績進行分數統計。而今天，統計學的理論和方法不僅得到了廣泛的應用，還改變著人們對世界的認識。那麼，統計是怎麼出現的呢？
早在17世紀，有一個叫約翰·格朗特的英國商人，對政府公布的死亡表進行了研究。他發現各種疾病、自殺和五花八門的事故所導致死亡的人數所占百分比是基本不變的，而因傳染病死亡的人數所占百分比波動較大。1662年，他把自己的研究成果發表在名為《對死亡表的自然觀察和政治觀察》一書中，這本書被稱作「真正統計科學的開端」。
統計學就是用於對足夠多的反映社會現象的量進行觀察研究，並揭示其規律的科學。
例如，考察人的智力情況。任意選擇一些人，用設計好的試題測驗他們的智力。測試的結果是：他們的智力分布呈現出一條鍾型曲線。即智力一般的人占絕大多數，智力低下和智力超常的人占少數。而且測試的人越多，曲線就越呈鍾型。人類的智力在總體上服從一種確定的定律，這一規律只有依靠統計學的研究才能發現。
現代統計學有什麼特點呢？
首先，現代統計在概率論的基礎上，建構了其獨特的數學方法；
第二，統計採用抽樣的方法，注重由樣本（抽出的樣品稱樣本）對總體進行推斷；
第三，統計離不開大量的觀察，並分析觀察結果的規律性；
第四，統計學必經研究科學的，有效的實驗設計（例如，智力測驗中試題的設計）。
進入20世紀，統計學獲得了巨大的發展和迅速的普及。試想：在自然科學領域，物理化學、地質學、遺傳學，在社會科學領域，經濟學、社會學、管理學，甚至民意測驗、資產評估、產品銷售、犯罪案件等等，哪一項能離開統計？
統計真是無處不在。
知識點：統計、現象、規律、特點
為什麼中國把「畢達哥拉斯定理」
稱為「勾股定理」
在平面幾何中，有這樣一條著名的定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，即：
△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
設：BC=a，AC=b(a<b)，AB=c，
則有：a2+b2=c2。
這條定理在西方被稱為「畢達哥拉斯定理」，而在中國，卻被稱為「勾股定理」。這是為什麼呢?
原來，西方人認為是畢達哥拉斯在公元前500年發現的這一定理，早在這年代之前就被中國數學家發現了。在我國現存最早的數學著作《周髀算經》上，記載了公元前12世紀周公和商高的一段對話。商高的答話中有一句為「……故折矩，此為勾廣三，股修四，徑隅五」。後來這話，簡稱為「勾三股四弦五」，即：a：b：c=3：4：5，這就提出了該定理的特殊形式，接著該書在下文又記載了公元前六七世紀榮方和陳子的一段對話，陳子說：「若求邪(斜)……勾股各自乘，並而開方除之。」即■=c，c2=a2+b2。這進一步說明了該定理的一般形式。
1951年，我國的《中國數學雜誌》第一期上曾就這一問題進行討論，因為商高和陳子都是比畢達哥拉斯早年代的人，所以有人主張將「畢達哥拉斯定理」改稱「商高定理」或「陳子定理」。最終，我們以「勾股定理」為其命名，這樣既準確反映了我國古代數學的輝煌成就，也形象地概括了這一定理的內容。
知識點：畢達哥拉斯定理、勾股定理
為什麼古希臘會取得非常輝煌的數學成就
提到古代數學，就要提到古希臘。《幾何原本》就誕生在古希臘，這部雄視數學界兩千多年的巨作讓古希膜當之無愧地成了「幾何學之母」。除此之外，它還使得算術從幾何學中分離出來成為獨立的數學學科，同時解決了大量的代數方程問題，高等數學也開始萌芽了。
為什麼古希臘會取得如此輝煌的數學成就呢?
首先，哲學的發展使人們漸漸不滿足於了解事物是「怎麼樣」的，而更希望知道「為什麼」。一些人開始提出這樣的問題：「為什麼等腰三角形兩底角相等?」「為什麼圓的直徑將圓二等分?」雖然通過簡單的摺紙實驗就能證實這些論斷，但是人們渴望得到更進一步的邏輯論證。這樣一來，古希臘數學在邏輯體系上就有了全新的發展，從而推動了幾何學的巨大進展。
第二，任何學科的發展都離不開交流。古希臘的數學也是吸收了他人所長，從而得到進步和創新的。被公認為希臘幾何學鼻祖的泰勒斯就曾在埃及居住和學習。他回到故鄉後建立學校，傳授帶回來的數學和其他學科的知識。他和他的一些學生很快趕超了埃及的水平，在古希臘的數學發展中起到了極大的推動作用。
第三，社會生產和實際向來都是科學發展的主要動力。在當時的古希臘已經有了比較雄厚的國力和比較先進的科學技術，航海與商業的發展也不斷向數學提出新的研究課題，而數學又在不斷應用中得到了新的發展。
古希臘數學成就的取得和人的因素是分不開的。許多數學問題的解決往往都凝聚著幾代人的心血，最終的突破性進展通常由一個或幾個人完成。在古希臘的科學文化中心——亞歷山大博學院，集中著一大批優秀人才，為數學突破提供了必要的條件。畢達哥拉斯、希波克拉底、海倫、丟番圖等在史書上被永遠銘記的數學家都是古希臘數學成就的締造者。
在現今的中國，科技的發展對數學提出了嶄新的要求，對外開放和綜合國力的增強為學習和發展提供了良好的機遇，能否創造中國數學的輝煌，就在於我們每個人的探索與追求。
知識點：古希臘、數學、哲學、交流、動力
為什麼諾貝爾獎獲得者中有許多數學家
諾貝爾科學獎中有物理學獎、化學獎、醫學獎、經濟學獎等等，但是沒有數學獎。原因是什麼，現在已無從得知。想來是諾貝爾認為數學和科學不同，科學是研究客觀現實的，有明確的可以觀察的物質形態，而數學是研究數和形等抽象概念的，兩者之間有明顯的差異。當然，這只是猜測而已。
然而，由於數學是科學研究的有力工具，許多重大的科學成果主要依靠數學工作而獲得，因此一些數學家先後獲得諾貝爾獎。例如：前蘇聯的康脫洛維奇是著名數學家，他以線性規劃的研究獲得1971年的諾貝爾經濟學獎；數學家A·柯馬赫和G·洪斯費爾德用數學方法完成了CT掃描技術，對醫學診斷有極大貢獻，因而獲得了1979年的諾貝爾醫學獎；H·霍普頓因為用數學方法測定晶體結構，獲得了1985年的諾貝爾化學獎。
由此看來，數學和科學是不可分割的。要想在科學上做出傑出的成績，數學是不可缺少的工具。年輕時學好數學，將會給未來的科學生涯打下堅實的基礎。
知識點：諾貝爾獎、數學家、數學、工具、科學
為什么女數學家比較少
自從人類社會由母系社會轉為父系社會以後，世界各國都存在著「男尊女卑」、「重男輕女」的現象。婦女在社會上沒有地位，也就不可能產生很多的女科學家。
在科學上爭取「男女平等」的社會變革，是19世紀末20世紀初才開始的。出生于波蘭的M·居里夫人先後獲得了諾貝爾物理學獎和化學獎；在中國成長的吳健雄博士是美國物理學會的第一位女會長。她們是女科學家的傑出代表，許多女青年以她們為榜樣走上了科學道路。
相比之下，女性在物理學、化學、生物學、醫學等領域的成就較大，而在數學領域的成就較小，從事數學科學研究的女性也特別少，這和數學界長期歧視女性有關。世界上第一個女性數學教授是俄國的柯伐列夫斯卡婭。她在俄國找不到工作，後來在1889年成為瑞典斯德哥爾摩大學的數學教授。20世紀最偉大的女數學家E·諾特，是抽象代數的奠基人，但在1920年的德國哥廷根大學，校方一直只讓她當講師，不許她當教授。
第二次世界大戰之後，情況有很大改變。J·羅賓遜在1983年當選為美國數學會第一位女性會長，中國的胡和生教授成為中國科學院第一位女性數學院士。1998年美國產生1216個數學博士，其中919個為男性，297個為女性，女性數學博士占全體博士的近四分之一。中國女數學家的人數也在增加。
教育學和心理學的研究一再表明，女學生和男學生的數學能力沒有什麼差異，所謂「女生不適合讀數學」是完全沒有根據的。可以預料，隨著社會的進步和男女平等觀念的完全樹立，女性數學家一定會在21世紀做出輝煌的貢獻。
知識點：數學家、歧視、平等
為什麼採用公曆紀年
2004年的二月共有29天。若你再翻翻以前的日曆，便會發現2003年的二月只有28天，再看看2002年的日曆，2002年的二月份同樣是28天。我們便把二月份中只有28天的公曆年叫平年，而把二月份有29天的公曆年叫做閏年。2004年便是閏年。
為什麼要分平年與閏年呢?
天文學上將地球繞太陽自春分點回到春分點的時間，叫做一個回歸年，它的長度卻不是365天，而是365．2422天。若一年按照365天計算，則每年多出來的0．2422天又該怎麼辦呢?從前人們規定平年365天，每4年便有一個閏年，是366天。像這樣計算是拿365．25作為一個回歸年，幾乎每年要長11分14秒。
像這樣的誤差看上去似乎很小，可積累起來就不得了，從公元前46年算起，至16世紀，竟然租差10天之多，後來3月21日的春分提早到了3月11日。因此人們也只好規定1582年的10月5日當作10月15日，補回了所丟失的10天。
為了避免之後再次出現誤差積累的現象，對閏年便又做了重新的規定：只要能被4整除的公曆年便是閏年；但逢百的年份必須能被400整除才能是閏年。像1996年是閏年，2000年能被400整除，因此也是閏年，但2200年便不是閏年了。閏年指的是公曆年，但閏月都是農曆年的現象。像1998年的農曆閏5月，這一年會有兩個5月，這又是為何呢?
眾所周知，我國的節氣是農曆所特有的，像2月4日立春，12月翅日冬至等等；農曆所反映的是指月亮的盈虧變化(如海水的潮汐一樣)，而且照顧了寒暑的時令。它規定了大月是30天，小月是29天。由於月相變化一周期的時間為29．5306天，這樣幾個月的平均值便很接近月相變化一周期所用的時間了。所以規定了平年有12個月，全年都354日或者355日，和公曆的回歸年平均相差有1O日21時，為了改正這個誤差，因此規定每三年便設有13個月，全年共有384天。通過這種巧妙的安排，才讓每月所表示的節氣相差不會太大。因此農曆的閏月實際上便是農曆年的閏年，是為了和公曆相配合才設置的。
因為使用農曆紀年在節氣上不可以像公曆那樣大體上比較固定，並且它的計算也很複雜，平年和閏年天數相差很多天，因此採用公曆比農曆普遍而且也很方便。
知識點：平年、閏年、回歸年、節氣
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