第176章 軟硬分析的融合貫通
第176章 軟硬分析的融合貫通
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吃完了晚飯，四個人便再度返回了各自的房間。
現在的時間尚還沒有到7點，不過畢竟是旅途勞累，所以他們今天晚上也都不準備出去逛什麼的了，等待著明天大會正式開始就行。
林葉的房間中。
「呼~」
林葉倒是沒有立馬就躺到床上開始休息起來，而是坐在了房間中提供的書桌前，將書桌燈打開，隨後從自己攜帶的書包中取出了一疊論文，隨後將其放在了桌子上。
燈光映照下，可以看到這疊論文的標題。
《Linear Inviscid Dampin g for a Class of Monotone Shear Flow in
SobolevSpaces》。
正是韋東今年發表在CPAM上面的那篇論文。
可以看見，這疊列印出來的論文上面已經記錄著各種各樣的筆記或者是批註，這全都是林葉在看這篇論文的過程中記下來的，大概是翻得多了，以至於頁腳也都被磨出了毛邊。
自從上次在陳爺爺辦公室門口，從韋東和周凱的討論中得到了關於交換子估計的靈感後，林葉確實在那個困擾他的NS方程非定域性難題上推進了一大步。
在之後的幾天裡，他成功地利用交換子將壓力項的奇異性進行了一定程度的磨平。
然而，正如探索真理的道路永遠不會一帆風順，按下葫蘆浮起瓢，他在解決舊問題的同時，又撞上了一堵新的高牆。
當他試圖將這個估計推廣到臨界空間時，發現交換子帶來的衰減還不夠強，還需要更精細的控制。
嘗試了幾天之後，發現短時間內實在是找不出什麼更好的思路出來，於是乎，他就決定看一些其他的論文什麼的，拓展一下思維。
然後，他就想起了韋東師兄今年發表的那篇CPAM論文。
正好當初也說過回頭拜讀一下這篇論文來著，結果不看不知道，一看就不得不讓人感慨，不愧是能夠被CPAM接收的論文，寫的果然厲害！
這篇論文的核心要是關於流體力學中的無粘阻尼問題。
在流體力學中，通常認為流體的能量耗散依賴於粘性，但在1907年，Orr發現即使在沒有粘性的理想流體中，剪切流也會導致速度場的衰減，這種現象被稱為【無粘阻尼】。
其機制類似於等離子體物理中的朗道阻尼：流體的剪切作用導致渦度在相空間中發生劇烈的混合，使得宏觀上的速度場能量隨時間衰減，儘管系統總能量可能是守恆的，且渦度並沒有消失，而是向高頻轉移了。
在韋東的這篇論文之前，數學界主要證明了最簡單的庫埃特流的線性無粘阻尼，而這篇論文則不再局限於線性的庫埃特流，而是證明了對於一般的一類單調剪切流，這種阻尼現象依然存在。
當然，如果只是成果厲害的話，對林葉來說，倒是並沒有什麼太大的區別，畢竟是能夠登上CPAM的論文，而CPAM幾乎完全不會接納任何灌水的論文，哪怕是極少數那麼幾篇被接受的比較水的論文，其本身也都是有一定可取之處，哪怕是灌水都要讓人稱讚一聲灌的精彩。
而韋東這篇論文的關鍵就在於處理臨界層附近的奇性問題上面，雖然它與NS
方程中渦絲結構的奇異性的物理圖像不同，但在數學本質上，卻和如何處理積分算子的核函數奇點有著異曲同工之妙。
而這，正是林葉目前需要的。
他目前面臨的難題，也就是如何用局部的幾何約束去壓制非定域的壓力項帶來的整體積分發散，而這篇論文，恰好在這個「非定域性」和「奇異性」的處理上，提供了極其強大的工具和思想。
只不過嘛————
林葉手中的筆尖停在了論文的第16頁，那裡是關於非齊次瑞利方程解的一致估計。
「這裡————」
林葉眉頭微蹙，指尖輕輕敲擊著那個積分公式。
「韋師兄在這裡處理預解式（c—R—α）^—1的奇點時，採用的是非常傳統的逐項展開，通過構建複雜的輔助函數來控制對數奇性。」
這當然是完全正確的，也是極其嚴謹的。
但是，讓林葉感到困惑的是：「這種方法雖然穩健，但計算量大且步驟繁瑣，甚至為了封閉估計，不得不引入了比較強的正則性假設。」
「如果是我————」林葉在腦海中快速推演，「既然已經證明了算子在加權空間中的有界性，為什麼不直接利用微局部分析中的波前集概念，將奇點直接在相空間中剝離？」
「或者，利用他自己都很擅長的譜分解，做一個更簡潔的圍道積分變形？」
在林葉看來，韋東作為能寫出這篇頂刊的天才，而且對譜分析造詣極深，不可能想不到更漂亮，也更現代的解法。
但他卻偏偏選了這麼一個看似笨拙的古典方法。
是沒想到？
還是，「這其中隱藏著什麼我沒看出來的深意？」
林葉感到了深深的疑惑。
「不行，得去問問。」
林葉是個行動派，不懂就問。
反正正主就在隔壁，不問白不問。
於是他當即合上論文，抓起筆，披上外套便走出了房間。
「咚咚咚。」
林葉敲響了斜對面房間的門。
沒過幾秒，房門打開，是周凱。
此時他手裡還拿著一袋剛拆開的薯片，顯然正在享受晚上的休閒時光。
但是林葉很想問問他，剛才在餐廳的時候不是還表現出一種接下來該努力的樣子麼？
怎麼現在就放鬆起來了？
「喲，你怎麼來了？」
周凱看到是林葉，頓時樂了，身子倚在門框上，並沒有急著讓開，而是先調侃了一句：「是不是覺得一個人住在一個房間有點空虛寂寞冷了？來找師兄們聯絡聯絡感情。」
「呃————可能要讓你失望了。」林葉無奈地搖搖頭，隨後便揚了揚手中的論文，「我是有學術問題來請教的。」
「哦？」周凱眼睛頓時就是一亮，「你還會遇上學術問題啊？」
「行了行了，進來吧。」他側過身，笑著把林葉讓了進來，「既然你誠心誠意地發問了，那師兄肯定也不會小氣，就大發慈悲地告訴你吧，說吧，是不是關於明天報告的事————」
然而林葉走進來之後，就徑直向著坐在床上的韋東走去：「韋師兄，我有問題想要問你。」
「啊————」
周凱頓時就僵住了，原本伸出的準備關門的手，此時也停在了半空中。
敢情————人家不是來問他的啊？
他的臉上頓時就露出了悲傷的表情，看來人還是不能自作多情。
林葉走進房間，布局和他的那間基本一樣，不同的就是有兩張單人床。
周凱的那張床上攤著平板電腦和零食，而靠窗的那張床上，韋東正盤腿坐著O
和在學校見到時一樣，韋東依舊是那副有些出世的模樣。
他手裡拿著一支鉛筆，膝蓋上墊著一本厚厚的數學書，看上去也是在學習的樣子。
聽到動靜，韋東抬起頭，眼神有些發直，似乎還沉浸在剛才的思考中，直到看清是林葉，目光才重新聚焦，變得清澈起來。
「林葉？」韋東放下筆，稍微挪動了一下身子，算是打招呼，「你有什麼問題嗎？」
「其實就是關於你今年發表在CPAM上面的那篇論文。」
林葉也沒有過多的客套，直接走到韋東床邊，拉了把椅子坐下，將手中的論文攤開在兩人中間。
「我也來聽聽！」而已經關上門的周凱此時也趕快圍了上來，自己不管怎麼說那也是上京大學數學科學學院的博士生，人家討論的時候，自己多少也得發表一下看法，不能讓自己被看輕了。
然而聽到林葉提到的東西，他就有些搞不明白了，「韋東發表在CPAM上面的那篇論文？你現在最應該關注的不是明天的報告麼？」
不過林葉沒有太過關心他的問題，只是指著論文說道：「是這樣的，我今晚看到第16頁關於瑞利方程非齊次解的估計部分，有一點————疑惑。」
「疑惑？」韋東愣了一下，身體立刻前傾，原本有些木訥的臉上瞬間煥發出專注的神采，「是哪裡推導錯了嗎？」
「不不不，推導完全正確，嚴絲合縫。」林葉連忙擺手，隨後指著那個關鍵的積分項，說出了自己的不解：「我的意思是，在這裡處理對數奇性時，你用的是經典的輔助函數構造法。但是，以師兄你對譜分析的理解，這裡如果引入一個仿積分解，或者直接在頻域上做截斷，不等式的常數項應該能優化得更好，步驟也能縮減一半以上。」
林葉抬起頭，直視著韋東的眼睛，誠懇地問道：「這種方法你應該早就想到了才對，為什麼最後還是選擇了這條————看起來稍微有些繞的路呢？」
聽著林葉的疑問，韋東並沒有立刻回答。
他那握著鉛筆的手指無意識地摩掌著紙面，眼神再次變得有些渙散，仿佛穿透了紙背，看向了那個抽象的數學世界。
片刻後，他重新聚焦，看著林葉，語速緩慢地說道：「你說得對，用仿積分解確實更————漂亮，也更現代，在處理光滑函數時，它也是最高效的工具。」
韋東頓了頓，手中的鉛筆在那個輔助函數的構造式上重重地點了一下：「但是，仿積分解是一種硬截斷，它在頻域上切一刀，雖然控制了範數，卻破壞了物理空間上的單調性結構。」
「瑞利方程的核心，在於剪切流u（y）的單調性帶來的譜穩定性，這個輔助函數雖然繁瑣，但它在每一步推導中都嚴格保留了這種單調性帶來的正定性。」
韋東抬起頭，眼神中透著一股大智若愚的通透：「我是這麼覺得的，做數學，有時候不能光圖快、圖好看。如果為了優化常數而丟掉了物理模型的結構穩定性，一旦邊界條件稍微惡劣一點，或者正則性要求降低一點，漂亮的仿積就會失效，而這個笨辦法————它能扛得住。」
林葉聞言，頓時就感受到了一種振聾發聵。
他之前一直試圖用最尖端的調和分析工具去巧解NS方程的非定域項，總覺得差了一口氣。
現在他明白了，他太過於追求工具的硬度，卻忽略了流體本身最原始、最樸素的幾何約束力！
「保留正定性————不破壞物理結構————」林葉喃喃自語。
他很清楚，這其實就是硬分析的對立面，軟分析的思維。
軟硬分析，並非絕對無法融合貫通，只有軟硬兩種分析方式的結合，才真正能夠做到登峰造極。
就像是當年證明費馬大定理的安德魯·懷爾斯，他在證明過程中也是軟硬結合，才完成了這樣一道數學界上百年都未曾完成的成果。
而林葉在之前的研究過程中，大概是品嘗到了硬分析的那種爽快感，畢竟其本身就像是一種炫技，能夠極大地滿足他對於將自身知識和技巧運用到巔峰的追求。
但是現在，純粹的硬分析顯然不能在所有方面都做到盡善盡美的程度。
這也提醒了他，NS方程之所以難，就是因為傳統的硬分析，比如能量估計、
Sobolev範數估計等方法都幾乎已經做到頭了，大家算無可算，自然排除不了奇點，而軟分析一派光靠軟分析，也同樣無法真正突破。
所以只有將這兩者結合，才是正道！
他站起身，對著韋東深深鞠了一躬，「受教了，韋師兄。
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就在這個時候，系統的聲音久違地在他的腦海中響起。
「檢測到宿主領悟到的分析流派結合的重要性，對數學的體會更上一層樓，獎勵一次數學/分析修煉空間激活次數，在激活時可任選一種修煉空間進入！」