第518章 顧銘因子
當格蘭特局部因子公式是錯的這幾個字出現在論壇里的時候。
整個 mathoverflow都炸了。
【剛才李東說了些什麼？】
【我沒看錯吧？他居然說格蘭特公式是錯的？】
【他瘋了吧？】
【為了保自己的學生，連格蘭特局部因子公式都敢噴？】
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【樓上的，你注意點，這可是李東。】
【李東怎麼了？菲爾茲獎得主就可以將一條用了 30年的定理給判死刑咯？】
可以說，李東的這句話，把全世界的數學學者都給驚呆了。
有人在這個回帖里艾特了哈爾沃森教授
但哈爾沃森教授卻始終沒有回覆。
倒是陶哲軒在這裡回了一條消息。 【大家先別下定論，在李東教授給出證據之前，我覺得站隊是沒有任何意義的。】
【不過呢，我還是建議大家先去把格蘭特的原始論文找出來看一看。】
【那篇論文也不長，才 40來頁。】
大概 10分鐘以後，這條回復下面又多出了一條新的回覆。
【我剛去我們學校的圖書館，借了格蘭特的論文。】
【你們猜一下，上一次有人借這本論文的紙質版是什麼時候？】
【什麼時候？】
【大概 19年前。】
這個答案一出來，論壇里就安靜了下來。
一條已經寫進教科書里的定理，30年被人引用了上千次。
但是他的原始論文卻已經有 19年沒有人借過了。
這件事，讓論壇里的同行們都不知道該怎麼說了。 直到第二天，李東又在這個帖子下面留言了。
【顧銘，最近我還有事，先給你留道題。】
【你去把哈爾沃森教授 comment裡面的那個素數 p換成任何一個除以 l餘數不是1的素數。】
【記得兩邊都要再算一下，算完了，你把結果告訴我。】
【我晚點會再來看的。】
李東對數學界同行們要說的話，在他感謝完哈爾沃森教授之後，其實就已經說完了。
現在的這些話，他都是對顧銘說的。
看到李東的回覆，論壇里的人全都懵逼了。
不是，你怎麼還在這留作業了呢？
你把這當成你的課堂了？
【我堂堂副教授在這裡看別人布置作業？】
【所以你做不做李東教授布置的題啊？】 【做啊。】
論壇里的同行們，嘴裡雖然都罵罵咧咧的，但是身體卻很誠實。
畢竟這是李東教授在上課，像這種可以光明正大旁聽的機會不多，你不蹭，那就是你的損失。
於是當天下午，就有人陸續的將結果貼到了這個帖子的下面。
【l= 3，p =5的時候，兩邊的結果不一樣。】
【l= 3，p =11的時候，也是不一樣的結果。】
【p = 17的時候，結果一致。】
【但是 p = 7的時候就對不上了。】
【差值和哈爾沃森教授算出來的一樣。】
【p=13也對不上。】
【31也是，但是 29卻是一樣的。】
各種答案紛紛地被貼了出來，直到晚上，有人把所有的答案整理成了一張表格。 【大家可以來看一下我整理出來的答案。】
【兩邊結果不一樣的有 7、13、31、61。】
【而結果一樣的，則是 5、11、17、23、29。】
這個表格整理出來以後，很快就有人發現了其中的一個關鍵點。
【各位，我好像發現了一個規律。】
【這些對不上的素數，它們除以 3以後，餘數全部都是 1。】
【這並不是誤差，有點像，有點像是一種結構。】
【這個結構是?整除p?1？】
【所以誰能告訴我，這意味著什麼？】
【意味著 p的數域裡，住著 l次單位根。】
看見單位根這個詞的時候，做類群統計的學者們都覺得後背一陣發涼。
要知道，在一個數域的類群里，對象本來應該是各自獨立的。 你一個一個的數，該是多少它就是多少，不會有任何問題。
可是一旦加上單位根的話，情況就完全變了。
單位根就像一面鏡子一樣，立在了所有的對象面前。
而這些鏡子裡的對象，也會同它們的本體一起參與群運算。
如果這個時候你再按照沒有鏡子的規則去數，那你就一定會數錯。
【所以……格蘭特公式能夠處理單位根嗎？】
【我剛去把格蘭特那篇論文又讀了一遍，在第五章的時候，他用了一個統一的控制條件，把所有的 p一鍋端了。】
【那麼問題來了，那個控制條件在單位根進來的時候，還成立嗎？】
這個回帖發出來以後，很久都沒有人回復。
顯然，他們都是去驗算了
3小時後，終於有一條新的回覆出現了。
【我剛才試了，結果……】 這條帖子只發了一半，就沒有再說了，也沒有人追問。
因為大家都已經發現問題了
當 p除以 l餘一的時候，局部結構里會多出一組對稱性。
本來是各自獨立的對象，被 l次單位根所生成的自同構兩兩配對成了軌道。
這個效應是乘性的，它可不止讓誤差變大了一點點，而是直接把誤差放大了一個量級。
所以，格蘭特引理 5.2中的那個控制函數，在這些素數上就不再有一致性。
甚至交換求和與取極限，也失去了合法性。
當所有人都認清這個事實以後，新的帖子也一條一條地出現了。
【我已經試了十幾遍了，格蘭特的控制條件在 p≡1 (mod?)的分支上，確實有點立不住。】
【軌道的權重直接就把一致收斂性打穿了。】
【對，自同構群的階在這些素數上跳了，權重也在跟著跳，這不是微調就能夠搞定的事，我估計整個估計鏈都得重寫。】
【我已經測到 l＝ 5和 l = 7了。】 【只要 l整數除以 p減1，格蘭特的控制條件就會失效，這不是個例。】
大家一直在說著自己的發現，最後終於有人說了一句。
【你們有沒有注意到這個錯誤的模式有點眼熟啊？】
【隱性的交換求和與極限，靠一個默認的控制條件來兜底。但這個控制條件在某一個分支上就會失效。】
這個回復一出來，不少人終於反應了過來。
半年前，顧銘在 arxiv上掛過一篇論文。
《cohen-lenstra-martinet猜想五次非阿貝爾數域上的第一矩無條件收斂。》
這篇論文，學界的評價是非常高的，好幾位數論教授都做了獨立的局部驗證。
沒有發現任何的問題，可是顧銘卻主動撤了稿。
而且聲稱這篇論文在證明的過程中存在不夠嚴謹的地方。
當時所有人都在猜測到底是哪裡不嚴謹，可最後誰也沒有發現問題
現在再回頭看的話，那篇論文裡，顧銘是不是也用了一個類似的手法？ 同樣是隱性的交換求和與極限。
用一個看起來無害的控制條件來做兜底。
【半年前，顧銘那篇第一矩的論文是不是也用了同樣的方法？】
【方向和對象不一樣，但手法確實是同構的。】
【所以顧銘當時就發現了這個地方不夠嚴謹，所以撤掉了這篇論文？】
論壇上再一次的安靜了，直到一個小時後，終於有人說出了和李東一模一樣的話。
【格蘭特局部因子公式是錯的。】
【樓上的你也瘋了？】
【我沒瘋，我已經把格蘭特論文裡的引理 5.2，在p≡1(mod?)的全部分支上，驗證了四五遍了。】
【我的結果證明，格蘭特局部因子公式，它就是錯的。】
【你們要是誰不信，把那一步的一致有界性在軌道加權下重新驗證通過，那我就當場刪號認錯。】
這一條挑戰的回覆，沒有任何人敢應戰。 直到次日上午，李東他又來了。
【呦，我的學生沒交作業，大家反而交了。】
【行，那我就給大家上一節公開課吧。】
然後李東也就沒有繞圈子，而是直接丟下了一個問題。
【我先問問大家，為什麼是 p≡1(mod?)】
李東雖然說是在問大家，但他也沒有給別人回答的時間，直接就發了下一條回復。
【因為只有這樣，l次單位根才能放進 p進數域裡。】
【然後格蘭特就試圖用他論文裡的引理 5.2來控制處理所有的素數。】
【這其實是沒有問題的。】
【因為在 30年前，並沒有今天的數學工具。】
李東並沒有將格蘭特的論文批得一無是處。
【格蘭特已經走到了他那一代人的最前面。】 【一個數學家用當時最好的方法得出了當時最好的結果，這件事本來就值得我們尊敬。】
【就像肯普在 1879年發表了四色定理的證明，當時學界整整用了 11年，然後伍德希才找出了這個證明的缺口，那肯普不值得我們尊敬嗎？】
【但是數學不能因為尊敬，就不去驗證它。】
【而我們需要怎麼去驗證它呢？】
【我們需要一條完全獨立，又能推到同一個位置的工具出現。】
【而這個工具，上個月才出現。】
【你們可以去看一看最新的數學新進展，顧銘的那篇論文。】
【他在論文的第 41頁，定理 6.3】
【這條定理對一切有限阿貝爾 l群一致成立。】
李東的回帖到這裡就結束了。
大概隔了 5分鐘左右，才有人發出一條回復。
【所以……不是格蘭特公式證明顧銘的論文是錯的。】 【而是顧銘的論文證明了格蘭特公式是錯的。】
李東看到了這條回復，他在屏幕前笑了笑，然後又補充了一句。
【對，就是這個意思。】
【順帶一提，你們再回去讀一遍哈爾沃森教授的 comment。】
【裡面他從頭到尾就沒有說顧銘錯，他只是把矛盾客觀的寫出來，那是他的疑惑。】
【顧銘錯了的這個結論，是你們自己想當然的。】
李東說到這裡以後，也就沒有再糾結這個事。
【好了，今天就到這裡，下課。】
【最後，顧銘，我知道你在看，我給你留個作業，把我今天上的這堂課正式寫成一篇論文投出去。】
【向西奧多·格蘭特教授致敬。】
李東回復完這條帖子以後，就正式下線了。
隨後論壇里的所有人也都反應了過來。 李東最後留下的這個作業，是讓顧銘去寫一篇正式的更正論文，證明格蘭特公式在含單位根分支上的失效，並且根據他現有的這篇論文，給出修正後的局部因子。
要知道，在學術界更正論文的分量其實不亞於原始論文。
而更正格蘭特公式，這個榮譽足以讓任何人在數學史上留名。
雖然這是李東留給顧銘的作業。
但其他人也能做呀，就看誰做得快了。
想到這裡，大家紛紛的下線。
幾乎同一時間，全球不下 20個研究組打開了顧銘的論文。
他們要把其中的定理 6.3作為新的獨立工具，去重新驗算格蘭特公式在p≡1(mod?)分支上的每一步推導。
當然這只是其中的一步，剩下他們至少還要面臨好幾道難關。
比如，渠道分布的唯一性論證啊，還有含單位根分支上重建帶是同構加權的局部因子啊。
雖然很難，但大家都覺得自己能夠克服。
可是他們並沒有意識到一個問題，那就是顧銘的這篇全部矩的論文，為什麼他們寫不出來？ 有些時候你不親自去走一下那條路，有些坎，你是永遠不知道怎麼邁的。
這也是李東為什麼敢在論壇上把作業直接留給顧銘的原因。
而且此時有一件事，已經悄然的在數學圈裡確定了。
當所有人都拿著顧銘論文裡的定理 6.3，去當做工具，去解決格蘭特公式的問題。
這就說明顧銘的【在galois群為s?的五次數域上，證明類群?-撓子群的任意階矩都收斂到clm預測的分布】這篇論文已經被大家接受了。
它其中的定理 6.3將代替格蘭特公式成為新的數學工具。
而且將代替 10年、20年，也許更久。
但無論多久，只要後來的數學家在論文的參考文獻里寫下它時，那他們引用的就不再是格蘭特，而是顧銘。
……
與此同時，水木和燕大的bbs好像一夜之間又活了過來。
【誰把我 3天前刪掉的慶祝的帖子還給我啊？】
【你不知道自己重發嗎？而且你可以在開頭加幾個字——我早就說過。】 就在李東的這堂公開課過去3天後。
哈爾沃森教授發了一篇新的帖子。
【過去的 72小時裡，我重新驗算了我comment里的每一個數字。】
【也重新研讀了格蘭特的原始論文。】
【現在我依然維持我的原判，二者必有一處需要修正。】
【但現在我知道了，是誰需要修正了。】
【在此我想感謝李東教授的這堂公開課。】
【也允許我向顧銘先生致意。】
【你的定理比我們所有人的直覺都可靠。】
【我已經向 neukirch編委會建議，在下一版中對涉及格蘭特局部因子公式的章節進行修訂】
【畢竟舊的地基裂了縫，也並不全是壞事，因為新的地基已經出現了。】
【而且我個人建議，以後在引用修正後的局部因子時，不管是誰先發出來，我們都可以將其稱為顧銘因子。】 【因為沒有顧銘的這篇論文，我們將繼續錯下去。】
哈爾沃森教授這條帖子一發出來，風向瞬間就改變了。
幾天前，所有人都在等顧銘的撤稿聲明，而現在，所有人都在改自己論文裡的參考文獻。